קיץ 2026 · מועד ב

התחום $\;-\dfrac{\pi}{4}\le x\le\dfrac{\pi}{4}\;$ סימטרי ביחס לראשית, ולכן $-x$ בתחום לכל $x$ בתחום.

$\big(\sin(-x)\big)^2 = \left(-\sin x\right)^2 = (\sin x)^2$ (הסינוס אי-זוגי, והריבוע מבטל את סימן המינוס)

$\cos(-2x) = \cos(2x)$ (הקוסינוס זוגי)

$f(-x) = (\sin x)^2\cdot\cos(2x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום, ולכן $f$ זוגית וגרפה סימטרי ביחס לציר $y$. מש״ל

כלל המכפלה, עם $\;\left((\sin x)^2\right)' = 2\sin x\cos x = \sin 2x$ (כלל השרשרת):

$f'(x) = \sin 2x\cdot\cos 2x + (\sin x)^2\cdot\left(-2\sin 2x\right)$

גורם משותף $\sin 2x$: $\;f'(x) = \sin 2x\left(\cos 2x - 2\sin^2 x\right)$

זהות $\;\cos 2x = 1-2\sin^2x$:

$f'(x) = \sin 2x\left(\left(1-2\sin^2x\right) - 2\sin^2 x\right)$

מכנסים: $\;f'(x) = \sin 2x\left(1 - 4\sin^2 x\right)$

$\sin 2x = 0 \;\Rightarrow\; 2x = \pi k \;\Rightarrow\; x = \dfrac{\pi k}{2}$, ובתחום רק $\;x = 0$

$x = \pm\dfrac{\pi}{6}$

שתיהן בתחום: $\;\tfrac{\pi}{6}=30^{\circ}<45^{\circ}$

טבלת הסימנים (התחום סגור, ולכן גם הקצוות בטבלה):

בנקודות $x=\pm\dfrac{\pi}{6}$ הסימן עובר מחיובי לשלילי: מקסימום.

בנקודה $x=0$ הסימן עובר משלילי לחיובי: מינימום.

בשני הקצוות: מינימום קצה (מהקצה השמאלי הפונקציה עולה, ואל הקצה הימני היא יורדת).

$f\!\left(\pm\dfrac{\pi}{6}\right) = \left(\dfrac12\right)^2\cdot\cos\dfrac{\pi}{3}$

מחשבים: $\;\dfrac14\cdot\dfrac12 = \dfrac18$

$f\!\left(\pm\dfrac{\pi}{4}\right) = \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2\cdot\cos\dfrac{\pi}{2}$

מחשבים: $\;\dfrac12\cdot 0 = 0$

מקסימום: $\;\left(\pm\dfrac{\pi}{6},\,\dfrac18\right)$

מינימום: $\;\left(0,\,0\right)$

מינימום קצה: $\;\left(\pm\dfrac{\pi}{4},\,0\right)$

$(\sin x)^2\ge 0$ תמיד.

בתחום הנתון $\;-\dfrac{\pi}{2}\le 2x\le\dfrac{\pi}{2}$, ולכן $\;\cos 2x \ge 0$

מכפלת שני גורמים אי-שליליים: $\;f(x)\ge 0$ בכל התחום. הגרף כולו מעל ציר $x$ או נוגע בו.

נקודות המגע בציר $x$:

$x=0$ (שם $\sin x=0$)

$x=\pm\dfrac{\pi}{4}$ (שם $\cos2x=0$)

מסמנים את הנקודות מסעיף ב:

מקסימום: $\;\left(\pm\tfrac{\pi}{6},\tfrac18\right)$

מינימום: $\;(0,0)$

מינימום קצה: $\;\left(\pm\tfrac{\pi}{4},0\right)$

מחברים לפי טבלת הסימנים, משמאל לימין: עולה מהקצה השמאלי אל המקסימום השמאלי, יורדת אל הראשית, עולה אל המקסימום הימני, ויורדת אל הקצה הימני.

מתקבלות שתי "גבעות" סימטריות ביחס לציר $y$, בגובה $\dfrac18$, הנוגעות בציר $x$ בשלוש נקודות (ראו סקיצה).

שורש ריבועי מוגדר רק כאשר הביטוי שמתחתיו אי-שלילי: $\;a\cdot f'(x) \ge 0$

$f'(x) \le 0$ (חילקנו במספר $a$, ונתון $a<0$, ולכן סימן אי-השוויון מתהפך)

תחום ההגדרה של $g$ הוא בדיוק התחום שבו $f$ יורדת או שנגזרתה מתאפסת. מטבלת הסימנים בסעיף ב:

קטע ראשון: $\;-\dfrac{\pi}{6} \le x \le 0$

קטע שני: $\;\dfrac{\pi}{6} \le x \le \dfrac{\pi}{4}$

הקצוות נכללים:

בנקודות $x=-\dfrac{\pi}{6},\,0,\,\dfrac{\pi}{6}$ מתקיים $f'=0$, ולכן $g=0$

בקצה $x=\dfrac{\pi}{4}$ מתקיים $f'<0$ (וזה קצה התחום הנתון)

$g(x)=0 \;\Rightarrow\; \sqrt{a\cdot f'(x)} = 0 \;\Rightarrow\; a\cdot f'(x) = 0$ (העלאה בריבוע)

$f'(x) = 0$ (חילקנו במספר $a$; מותר, כי $a$ שלילי ובפרט $a\neq0$)

את המשוואה פתרנו בסעיף ב:

$x = -\dfrac{\pi}{6},\;\; x = 0,\;\; x = \dfrac{\pi}{6}$

שלושתן בתחום ההגדרה מסעיף ד(1), כקצוות הקטעים $\;\left[-\tfrac{\pi}{6},0\right],\;\left[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4}\right]$ ✓

נקודות החיתוך:

$\left(-\dfrac{\pi}{6},\,0\right),\;\; (0,\,0),\;\; \left(\dfrac{\pi}{6},\,0\right)$

כלל השרשרת: $\;g'(x) = \dfrac{a\cdot f''(x)}{2\sqrt{a\cdot f'(x)}}$

בתוך תחום ההגדרה המכנה חיובי, וגם $a\neq0$. לכן $\;g'(x)=0$ בדיוק כאשר $\;f''(x)=0$: לפונקציה $g$ יש קיצון בדיוק בנקודות הפיתול של $f$.

נתון: נקודת פיתול אחת בלבד בתחום ההגדרה של $g$, ולכן לפונקציה $g$ נקודת קיצון אחת בדיוק.

הקטע השמאלי $\left[-\tfrac{\pi}{6},\,0\right]$: בשני הקצוות $f'=0$ ולכן $g=0$, ובפנים $g>0$. פונקציה רציפה כזו מקבלת מקסימום בפנים, ולכן הקיצון היחיד נמצא כאן וצורת הגרף קשת.

הקטע הימני $\left[\tfrac{\pi}{6},\,\tfrac{\pi}{4}\right]$: אין בו קיצון, ולכן $g$ מונוטונית שם.

בקצה השמאלי של הקטע הימני $f'=0$, ולכן:

$g\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=0$

בקצה הימני:

$f'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\dfrac{\pi}{2}\left(1-4\sin^2\dfrac{\pi}{4}\right) = 1\cdot(1-2) = -1$

$g\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{a\cdot(-1)} = \sqrt{-a} = \sqrt{|a|}$

לכן $g$ עולה בקטע הימני, מהערך $0$ עד הערך $\sqrt{|a|}$, וזהו גם הערך הגדול ביותר של $g$ כולה.

$g\ge0$ תמיד (שורש), ובשלוש הנקודות מסעיף ד(2) הגרף נוגע בציר $x$. בין $x=0$ לבין $x=\tfrac{\pi}{6}$ אין גרף כלל (ראו סקיצה).