קיץ 2026 · מועד ב

הסכום נעצר באיבר שמספרו $n=2$, ולכן באגף שמאל שני איברים בלבד.

אגף שמאל: $\;1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9$

אגף ימין: $\;\dfrac{2^2\,(2+1)^2}{b} = \dfrac{4\cdot 9}{b} = \dfrac{36}{b}$

משווים את האגפים: $\;9 = \dfrac{36}{b}\;\Rightarrow\;9b = 36$

$b = 4$ (מקיים $b\neq 0$ ✓)

הטענה שנוכיח: $\;\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$

בסיס $(n=1)$:

אגף שמאל: $\;1^3 = 1$

אגף ימין: $\;\dfrac{1^2\cdot 2^2}{4} = \dfrac{4}{4} = 1$

האגפים שווים, ולכן הטענה נכונה עבור $n=1$ ✓

הנחה: נניח שהטענה נכונה עבור $n=k$:

צעד: נוכיח את הטענה עבור $n=k+1$:

מוסיפים את $(k+1)^3$ לשני אגפי ההנחה. אגף ימין:

גורם משותף $(k+1)^2$: $\;(k+1)^2\left[\dfrac{k^2}{4} + (k+1)\right]$

מכנה משותף: $\;(k+1)^2\cdot\dfrac{k^2 + 4k + 4}{4}$

ריבוע מושלם $\;k^2+4k+4 = (k+2)^2$: $\;\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

זה בדיוק אגף ימין של הטענה עבור $n=k+1$, שכן $\;\big((k+1)+1\big)^2 = (k+2)^2$.

הבסיס נכון, ומנכונות הטענה עבור $n=k$ נובעת נכונותה עבור $n=k+1$; לכן לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל $n$ טבעי. מש״ל

שלב 1 — תחום ההגדרה. נתון שהפונקציה מוגדרת בתחום $\;x\le 6$.

בביטויים III ו-IV מופיע $\sqrt{x-6}$, המוגדר רק כאשר $\;x-6\ge 0$, כלומר $\;x\ge 6$. זה תחום הפוך לנתון, ולכן III ו-IV נפסלים.

בביטויים I ו-II מופיע $\sqrt{6-x}$, המוגדר כאשר $\;6-x\ge 0$, כלומר $\;x\le 6$ ✓

שלב 2 — הסימן. בסרטוט הגרף מתחת לציר $x$ בתחום $0<x<6$. מציבים שם $x=2$:

ביטוי I: $\;f(2) = 2\sqrt{4} = 4 > 0$. הסימן הפוך לגרף, ולכן I נפסל.

ביטוי II: $\;f(2) = -2\sqrt{4} = -4 < 0$ ✓

בדיקה:

$f(0)=0\;$ וגם $\;f(6)=0$: שתי נקודות החיתוך עם ציר $x$ שבסרטוט ✓

$f(-1) = -(-1)\sqrt{7} = \sqrt7 > 0$: כמו הגרף משמאל לראשית ✓

הביטוי המייצג את $f(x)$ הוא II.

מסעיף ב(1) $\;f(x)=-x\sqrt{6-x}$, ולכן:

חיתוך עם ציר $x$: $\;x^2(6-x) = 0 \;\Rightarrow\; x=0\;$ (שורש כפול) או $\;x=6$

$g=f^2\ge 0$, ולכן הגרף נוגע בציר בנקודה $x=0$ וחותך אותו בנקודה $x=6$. השטח הסגור הוא בתחום $\;0\le x\le 6$ (משמאל לראשית $g>0$ ואינה חוזרת אל הציר, ולכן שם אין שטח סגור).

מציבים את הגבולות: $\;\left(2\cdot 6^3 - \dfrac{6^4}{4}\right) - 0 = 432 - 324 = 108$

אסימפטוטה אנכית של $\;g(x)=\dfrac{1}{f(x)-2}\;$ מתקבלת היכן שהמכנה מתאפס:

$f(x)-2=0 \;\Rightarrow\; f(x)=2$

לכן סופרים: בכמה נקודות הגרף של $f$ נמצא בגובה $2$?

לפונקציה $f$ נקודת קיצון אחת בלבד, המקסימום $(3,4)$, ולכן היא עולה בכל התחום $x<3$ ויורדת בכל התחום $x>3$.

האסימפטוטה האופקית היחידה היא $y=0$, ולכן $\;f\to 0\;$ גם כאשר $x\to-\infty$ וגם כאשר $x\to+\infty$.

ענף עולה $(x<3)$: $f$ עולה ברציפות מהערך $0$ עד הערך $4$, ולכן מקבלת את הערך $2$ בדיוק פעם אחת. לפי $\;f(0)=1<2<4=f(3)\;$ הפתרון בין $x=0$ לבין $x=3$.

ענף יורד $(x>3)$: $f$ יורדת ברציפות מהערך $4$ חזרה אל $0$, ולכן גם שם מקבלת את הערך $2$ בדיוק פעם אחת.

שני פתרונות למשוואה $\;f(x)=2$, ובכל אחד מהם המכנה מתאפס בעוד המונה $\;1\neq 0$.

לכן לפונקציה $g$ יש שתי אסימפטוטות המאונכות לציר $x$.

אסימפטוטה המאונכת לציר $y$ היא אסימפטוטה אופקית, ולכן בודקים את $g$ בקצוות.

האסימפטוטה האופקית של $f$ היא $y=0$, כלומר $\;\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = 0$

הגבול סופי משני הצדדים, ולכן האסימפטוטה היא $\;y = -\dfrac12$

(שימו לב: $\;f\to 0^{+}\;$, ולכן $\;f-2\to -2^{+}\;$ והשבר מתקרב אל הערך $-\tfrac12$ מלמטה. נשתמש בזה בסקיצה.)

נסמן $x_1$, $x_2$ את שני הפתרונות של $\;f(x)=2\;$ מסעיף (1), כאשר $\;0<x_1<3<x_2$. האסימפטוטות $x=x_1$ וגם $x=x_2$ מחלקות את הגרף לשלושה ענפים.

טבלת הסימנים (המונה $1>0$, ולכן הסימן של $g$ הוא הסימן של $f-2$):

הגרף מתחת לציר $x$ בשני הענפים החיצוניים, ומעליו בענף האמצעי.

ענף שמאלי $(x<x_1)$:

$x\to-\infty$: $\;f\to 0^{+}$, ולכן $g\to -\tfrac12$ מלמטה

$g(0)=\dfrac{1}{1-2} = -1$

$x\to x_1^{-}$: המכנה שואף אל $0^{-}$, ולכן $g\to-\infty$

ענף אמצעי $(x_1<x<x_2)$: משני הקצוות המכנה שואף אל $0^{+}$, ולכן $\;g\to+\infty$

בנקודה $x=3$ המכנה $f-2$ מקבל את ערכו הגדול ביותר, ולכן $g$ קטנה ביותר:

$g(3) = \dfrac{1}{4-2} = \dfrac12$

מינימום מקומי: הענף בצורת U שקודקודו $\left(3,\dfrac12\right)$.

ענף ימני $(x>x_2)$:

$x\to x_2^{+}$: $\;f-2\to 0^{-}$, ולכן $g\to-\infty$

$x\to+\infty$: הענף עולה ומתקרב אל $y=-\tfrac12$ מלמטה (ראו סקיצה).

נניח בשלילה שהאיבר השני הוא $BC$. נסמן את מנת הסדרה באות $q$; האיבר הראשון הוא $\;AB=1$:

$AB = 1\;$ (ראשון), $\;BC = q\;$ (שני), $\;AC = q^2\;$ (שלישי)

משפט פיתגורס (הזווית הישרה בקודקוד $A$, ולכן היתר הוא $BC$):

$AB^2 + AC^2 = BC^2$

מציבים: $\;1^2 + \left(q^2\right)^2 = q^2$

מסדרים: $\;q^4 - q^2 + 1 = 0$

מציבים $\;u = q^2$: $\;u^2 - u + 1 = 0$

דיסקרימיננטה: $\;\Delta = (-1)^2 - 4\cdot 1\cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$

אין פתרון ממשי, ולכן לא קיים $q$ מתאים.

מסקנה: לא ייתכן שהאיבר השני שווה לאורך $BC$.

(נימוק גאומטרי מקביל: היתר $BC$ ארוך מהניצב $\;AB=1$, ולכן $q>1$ ומכאן $\;AC = q^2 > q = BC$, כלומר ניצב ארוך מהיתר. סתירה.)

מסעיף (1) נפסלה האפשרות שהאיבר השני הוא $BC$, ולכן נותרה האפשרות היחידה:

$AB = 1\;$ (ראשון), $\;AC = q\;$ (שני), $\;BC = q^2\;$ (שלישי)

משפט פיתגורס (הזווית הישרה בקודקוד $A$): $\;AB^2 + AC^2 = BC^2$

מציבים: $\;1 + q^2 = \left(q^2\right)^2 \;\Rightarrow\; q^4 - q^2 - 1 = 0$

מציבים $\;u = q^2$: $\;u^2 - u - 1 = 0$

נוסחת השורשים: $\;u = \dfrac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \dfrac{1\pm\sqrt5}{2}$

$u = \dfrac{1-\sqrt5}{2}\approx -0.618 < 0$ נפסל ($u=q^2$ ריבוע של אורך, ולכן חיובי).

הצלע המבוקשת היא האיבר השלישי: $\;BC = q^2 = \dfrac{1+\sqrt5}{2} \approx 1.618$

בדיקה: $\;q\approx 1.272$, והצלעות הן $\;1,\;1.272,\;1.618$:

$1^2 + 1.272^2 = 2.618 = 1.618^2$ ✓

היתר הוא אכן הצלע הארוכה ביותר ✓