קיץ 2026 · מועד ב

שבר אינו מוגדר כשהמכנה מתאפס: $\;x^2 + a = 0 \;\Rightarrow\; x^2 = -a$

נתון $a>0$, ולכן $\;-a<0$. ריבוע של מספר ממשי אינו שלילי, ולכן אין למשוואה פתרון ממשי.

למעשה $\;x^2+a \ge a > 0\;$ לכל $x$, כלומר המכנה לעולם אינו מתאפס.

תחום ההגדרה: כל $x$ ממשי.

אסימפטוטות אנכיות: המכנה $x^2+a$ אינו מתאפס לעולם (סעיף א1), ולכן אין אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטה אופקית: פותחים את המונה: $\;f(x) = \dfrac{6\left(x^2-2x+1\right)}{x^2+a} = \dfrac{6x^2-12x+6}{x^2+a}$

דרגת המונה שווה לדרגת המכנה, ולכן הגבול בקצוות הוא יחס המקדמים המובילים:

$\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \dfrac{6}{1} = 6$

אסימפטוטה אופקית יחידה משני הצדדים: $\;y = 6$ (אינה תלויה בפרמטר $a$).

כלל המנה עם $\;u = 6(x-1)^2\;$, $\;v = x^2+a$:

$u' = 12(x-1)$ (כלל השרשרת), $\;\;v' = 2x$

גורם משותף $12(x-1)$: $\;f'(x) = \dfrac{12(x-1)\Big[\left(x^2+a\right) - x(x-1)\Big]}{\left(x^2+a\right)^2}$

בסוגריים: $\;\left(x^2+a\right) - x^2 + x = x+a$, ולכן:

$f'(x)=0 \;\Rightarrow\; x = 1\;$ או $\;x = -a$ (שתי נקודות שונות, כי $a>0$ ולכן $-a<0<1$)

טבלת הסימנים (המכנה $\left(x^2+a\right)^2$ חיובי תמיד):

בנקודה $x=-a$ הסימן עובר מחיובי לשלילי, ולכן שם מקסימום; בנקודה $x=1$ משלילי לחיובי, ולכן שם מינימום.

$f(-a) = \dfrac{6(-a-1)^2}{(-a)^2+a} = \dfrac{6(a+1)^2}{a(a+1)} = \dfrac{6(a+1)}{a}$ (צמצום בביטוי $a+1$, מותר כי $a>0$)

שיעור $y$ של המקסימום מסעיף ב: $\;\dfrac{6(a+1)}{a} = 7.5\;\;\Big/\cdot a$ (מותר, $a>0$)

$6a + 6 = 7.5a \;\Rightarrow\; 1.5a = 6 \;\Rightarrow\; a = 4$ (מקיים $a>0$ ✓)

בדיקה: $\;\dfrac{6(4+1)}{4} = \dfrac{30}{4} = 7.5$ ✓

מכאן ואילך $\;f(x) = \dfrac{6(x-1)^2}{x^2+4}$, מקסימום $(-4,\,7.5)$, מינימום $(1,\,0)$.

עבור $\;f(x)=\dfrac{6(x-1)^2}{x^2+4}$ (סעיפים א עד ג):

תחום הגדרה: כל $x$

אסימפטוטה: $y=6$ בלבד

מקסימום $(-4,\,7.5)$, מינימום $(1,\,0)$

מונוטוניות (טבלת הסימנים בסעיף ב):

עולה: $\;x<-4$ וגם $\;x>1$

יורדת: $\;-4<x<1$

סימן: המונה $6(x-1)^2$ אי-שלילי והמכנה חיובי, ולכן $\;f(x)\ge 0$ לכל $x$, עם שוויון רק בנקודה $x=1$. הגרף נוגע בציר $x$ במינימום ואינו חוצה אותו.

חיתוך עם ציר $y$: $\;f(0) = \dfrac{6(0-1)^2}{0+4} = \dfrac{6}{4} = 1.5$

צד ההתקרבות לאסימפטוטה:

$f(x) - 6 = \dfrac{6(x-1)^2 - 6\left(x^2+4\right)}{x^2+4}$

מפשטים: $\;\dfrac{6\left(x^2-2x+1-x^2-4\right)}{x^2+4} = \dfrac{6(-2x-3)}{x^2+4}$

המכנה חיובי, ולכן הסימן הוא סימן הביטוי $-2x-3$:

$x<-1.5$: $\;f>6$ (הענף השמאלי מעל האסימפטוטה)

$x>-1.5$: $\;f<6$ (מתחת לאסימפטוטה)

חצייה יחידה של האסימפטוטה, בנקודה $(-1.5,\,6)$.

הגרף משמאל לימין: מתקרב אל $y=6$ מלמעלה, עולה למקסימום $(-4,\,7.5)$, יורד דרך הנקודות $(-1.5,\,6)$, $(0,\,1.5)$ אל המינימום $(1,\,0)$, ואז עולה אל $y=6$ מלמטה (ראו סקיצה).

$g$ היא שבר, ולכן דרוש $\;\big(f(x)\big)^2 \neq 0\;$, כלומר $\;f(x)\neq 0$.

$f(x) = \dfrac{6(x-1)^2}{x^2+4} = 0 \;\Rightarrow\; 6(x-1)^2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1\;$ (המכנה $x^2+4$ חיובי תמיד ואינו מוסיף מגבלות).

הנגזרת $f'$ מוגדרת לכל $x$ ואינה מצמצמת את התחום.

תחום ההגדרה של $g$: כל $\;x \neq 1$.

עם $a=4$, מסעיף ב: $\;f'(x) = \dfrac{12(x-1)(x+4)}{\left(x^2+4\right)^2}$

$\big(f(x)\big)^2 > 0$ בכל תחום ההגדרה (ריבוע של ביטוי שאינו אפס), ולכן הסימן של $g$ הוא סימן המונה $-f'(x)$, הפוך לסימן של $f'$.

טבלת הסימנים (סימני $f'$ מסעיף ב, עם $-a=-4$):

בנקודה $x=-4$ מתקיים $f'=0$ ולכן $g=0$; הנקודה $x=1$ אינה בתחום ההגדרה.

חיוביות: $\;-4<x<1$. שליליות: $\;x<-4\;$ וגם $\;x>1$.

הפונקציה הקדומה: לפי נוסחת הגזירה של פונקציה הופכית:

$\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)' = \dfrac{-f'(x)}{\big(f(x)\big)^2} = g(x)$

ולכן $\;G(x) = \dfrac{1}{f(x)}$

התחום והסימן: עם $a=4$ התחום הוא $\;-4\le x\le 0$. לפי ה(2) $\;g>0$ בתחום $-4<x<1$ (ובנקודה $x=-4$ מתקיים $g=0$), ולכן כל השטח בתחום $[-4,\,0]$ מעל ציר $x$ ואין צורך לפצל את האינטגרל.

מציבים את הגבולות: $\;\dfrac{1}{f(0)} - \dfrac{1}{f(-4)} = \dfrac{1}{1.5} - \dfrac{1}{7.5}$

מכנה משותף: $\;\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{15} = \dfrac{10}{15} - \dfrac{2}{15}$

$S = \dfrac{8}{15} \approx 0.533$ ✓ (חיובי, כצפוי משטח שכולו מעל הציר)