קיץ 2026 · מועד ב

נסרטט לפי הנתונים:

זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים שוות: $\;\angle ACB = \angle ABC = \alpha$

$EC = k\;$, $\;BE = 3\cdot EC = 3k$, ולכן $\;BC = 4k$

המשולש $CED$: ישר-זווית בקודקוד $D$ (כי $ED\perp AC$), היתר $\;CE = k$, והזווית $\;\angle DCE = \angle ACB = \alpha$

$\sin\alpha = \dfrac{DE}{CE} \;\Rightarrow\; DE = k\sin\alpha$

המשולש $BEM$: ישר-זווית בקודקוד $M$ (כי $EM\perp AB$), היתר $\;BE = 3k$, והזווית $\;\angle MBE = \angle ABC = \alpha$

$\sin\alpha = \dfrac{ME}{BE} \;\Rightarrow\; ME = 3k\sin\alpha$

נסרטט, עם האורכים מסעיף א ושני המשולשים שסכום שטחיהם נתון:

הניצבים הצמודים לזווית $\alpha$:

$DC = CE\cos\alpha = k\cos\alpha$

$BM = BE\cos\alpha = 3k\cos\alpha$

שטח משולש ישר-זווית הוא מחצית מכפלת הניצבים:

$S_{\triangle CED} = \dfrac{DC\cdot DE}{2} = \dfrac{k^2\sin\alpha\cos\alpha}{2}$

$S_{\triangle BEM} = \dfrac{BM\cdot ME}{2} = \dfrac{9k^2\sin\alpha\cos\alpha}{2}$

זהות הכפל: $\;2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha$

סכום שני השטחים: $\;5k^2\sin\alpha\cos\alpha = 2.5k^2\sin2\alpha$

$2.5k^2\sin 2\alpha = 1.6k^2 \;\;\Big/:2.5k^2$ (מותר: $k$ אורך, ולכן $k\neq0$)

מהנתון $\;30^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$ נובע:

$60^{\circ} < 2\alpha < 180^{\circ}$

$2\alpha \approx 39.79^{\circ}$ נפסל (קטן מהזווית $60^{\circ}$)

הפתרון השני בתחום: $\;2\alpha = 180^{\circ} - 39.79^{\circ} \approx 140.21^{\circ}$

$\alpha \approx 70.105^{\circ}$ (בתחום ✓)

$\angle ADE = 90^{\circ}$ (נתון $ED\perp AC$). במשולש ישר-זווית היתר הוא קוטר המעגל החוסם (ראו הסרטוט):

$AE = 2R = 2\cdot 29 = 58$

משפט הסינוסים במשולש $ABC$, שבו $\;\angle A = 180^{\circ}-2\alpha$ וגם $\;BC=4k$:

$\dfrac{AC}{\sin\alpha} = \dfrac{BC}{\sin(180^{\circ}-2\alpha)}$

מבודדים את $AC$ (זהות הכפל במכנה):

מסעיף ב $\;\alpha\approx70.105^{\circ}$:

$\cos\alpha\approx 0.34031$

$\sin\alpha\approx 0.94031$

$DC = k\cos\alpha \approx 0.34031k$ (סעיף ב)

$D$ על הקטע $AC$: $\;AD = AC - DC \approx 5.87697k - 0.34031k = 5.53666k$

$DE = k\sin\alpha \approx 0.94031k$ (סעיף א)

משפט פיתגורס במשולש $AED$: $\;AD^2 + DE^2 = AE^2$

מציבים: $\;(5.53666k)^2 + (0.94031k)^2 = 58^2 \;\Rightarrow\; 31.5388k^2 = 3364$

$k^2 \approx 106.66 \;\Rightarrow\; k \approx 10.33$ (השורש השלילי נפסל: $k$ אורך)