קיץ 2024 · מועד א

נסמן את מרכז המעגל $O$. $AO=R$, וגם $AC=x>R$, ולכן $OC=x-R$.

$CD\perp AB$, ולכן במשולש ישר-הזווית $OCD$ לפי פיתגורס:

$CD=\sqrt{R^2-(x-R)^2}=\sqrt{2Rx-x^2}$

$ACDE$ מלבן שצלעותיו $AC=x$ וגם $CD$:

$S(x)=x\sqrt{2Rx-x^2}$, בתחום $R<x<2R$

הנגזרת: $S'(x)=\sqrt{2Rx-x^2}+\dfrac{x(2R-2x)}{2\sqrt{2Rx-x^2}}$

מכנה משותף: $S'(x)=\dfrac{\left(2Rx-x^2\right)+x(R-x)}{\sqrt{2Rx-x^2}}$

מכנסים: $S'(x)=\dfrac{3Rx-2x^2}{\sqrt{2Rx-x^2}}$

$S'(x)=0$: $x(3R-2x)=0$, ולכן $x=1.5R$ (הפתרון $x=0$ אינו בתחום).

טבלת הסימנים (המכנה חיובי, וגם $x>0$, ולכן הסימן הוא סימן $3R-2x$):

בנקודה $x=1.5R$ הסימן עובר מחיובי לשלילי, ולכן שם מקסימום.

נסמן $h=CD$. הנקודה $F$ על $DE$, והישר $DE$ מקביל לקוטר $AB$ במרחק $h$ ממנו.

במשולש $CDF$ הבסיס $DF$ מונח על $DE$, והגובה מהקודקוד $C$ אל הישר הזה הוא $h$:

$S_{CDF}=\dfrac{DF\cdot h}{2}$

במשולש $AFE$ הבסיס $FE$ מונח על אותו ישר, והגובה מהקודקוד $A$ הוא גם $h$:

$S_{AFE}=\dfrac{FE\cdot h}{2}$

$S_{CDF}+S_{AFE}=\dfrac{(DF+FE)\,h}{2}=\dfrac{DE\cdot h}{2}=\dfrac{S_{ACDE}}{2}$

הסכום אינו תלוי במיקום $F$, והוא תמיד מחצית שטח המלבן.

לכן הסכום מקסימלי בדיוק כאשר המלבן מקסימלי, כלומר $\;x=1.5R\;$ (סעיף א):

הסכום המקסימלי: $\;\dfrac{1.5R\cdot\frac{\sqrt3}{2}R}{2}=\dfrac{3\sqrt3}{8}R^2\approx0.65R^2$