קיץ 2024 · מועד א

נסרטט לפי הנתונים:

במשולש $ABP$: $\angle APB=180^\circ-(\alpha+\beta)$

ולכן: $\sin(\angle APB)=\sin(\alpha+\beta)$

משפט הסינוסים ($AP$ מול $\beta$, $AB$ מול $\angle APB$):

$\dfrac{AP}{\sin\beta}=\dfrac{k}{\sin(\alpha+\beta)}$

$AP=\dfrac{k\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$

$BP$ מונחת מול $\alpha$, ובאותו אופן:

$BP=\dfrac{k\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}$

נתון $AE\perp BD$, ולכן $\angle APB=90^\circ$, כלומר $\alpha+\beta=90^\circ$.

מכאן: $\sin(\alpha+\beta)=1$, וגם $\sin\beta=\cos\alpha$.

מסעיף א: $AP=k\cos\alpha$, $\;BP=k\sin\alpha$.

$BP=3PD$, ולכן $PD=\dfrac{BP}{3}$.

$BD=BP+PD=\dfrac43BP=\dfrac43k\sin\alpha$

שטח המשולש $ABD$:

מצמצמים: $S_{ABD}=\dfrac23k^2\sin\alpha\cos\alpha$

זהות הזווית הכפולה: $S_{ABD}=\dfrac13k^2\sin2\alpha$

משווים לשטח הנתון: $\dfrac13k^2\sin2\alpha=\dfrac14k^2$

ולכן: $\sin2\alpha=\dfrac34$

$2\alpha=48.59^\circ$ או $2\alpha=131.41^\circ$

$\alpha=24.3^\circ$ או $\alpha=65.7^\circ$

נתון $\alpha<\beta$ וגם $\alpha+\beta=90^\circ$, ולכן $\alpha<45^\circ$ והפתרון $\alpha=65.7^\circ$ נפסל: $\alpha=24.3^\circ$.

נסרטט את המשולש לפי סעיף ב, עם המשולשים $AEB$, $AEC$:

משפט הסינוסים המורחב:

$\dfrac{AC}{\sin(\angle AEC)}=2R_{AEC}$

$\dfrac{AB}{\sin(\angle AEB)}=2R_{AEB}$

$E$ על $BC$, ולכן $\angle AEC$, $\angle AEB$ זוויות צמודות וסינוסיהן שווים:

$\dfrac{R_{AEC}}{R_{AEB}}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AC}{k}$

מסעיף ב: $BD=\dfrac43k\sin24.3^\circ\approx0.5487k$, וגם $\beta=65.7^\circ$.

משפט הקוסינוסים במשולש $ABD$:

$AD^2=k^2+(0.5487k)^2-2k\cdot0.5487k\cdot\cos65.7^\circ$

$AD^2\approx0.8495k^2$

$AD\approx0.9217k$

$BD$ תיכון לצלע $AC$, ולכן $AC=2AD\approx1.8433k$.