קיץ 2024 · מועד א

מספר התשובות הנכונות הוא משתנה בינומי עם $n=5$ והסתברות הצלחה $P$.

המאורע המשלים ל"לכל היותר $4$ נכונות" הוא "כל $5$ נכונות":

$1-P^5=0.83193$

מספר התשובות הנכונות הוא משתנה בינומי עם $n=5$ והסתברות הצלחה $p=0.7$.

נוסחת ברנולי: $P_n(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

המקדם $\binom53=10$ סופר את הדרכים לבחור אילו שלוש שאלות נענו נכון.

מציבים $k=3$:

הניקוד המרבי: $1+2+3+4+5=15$, ולכן "לפחות $14$ נקודות" פירושו $14$ או $15$ נקודות בלבד.

שני המקרים (כדי לקבל $14$ חסרה בדיוק נקודה אחת, כלומר רק שאלה $1$ נענתה לא נכון):

המקרים זרים, ולכן מחברים:

$P=0.16807+0.07203=0.2401$

הניקוד הוא סכום מספרי השאלות שנענו נכון. לקבוצה של $k$ שאלות נכונות ההסתברות היא $0.7^k\cdot0.3^{\,5-k}$.

כל קבוצות השאלות שסכום מספריהן $6$ (ואין נוספות):

שלושת המקרים זרים, ולכן מחברים:

$P=0.03087+2\cdot0.01323=0.05733$

בהינתן שלוש תשובות נכונות בדיוק, מספר הקבוצות האפשריות של שאלות נכונות: $\binom53=10$

לכל קבוצה אותה הסתברות, $0.7^3\cdot0.3^2$, ולכן כולן שוות-סיכוי.

הניקוד של כל אחת מעשר הקבוצות:

רק הקבוצה $\{1,2,3\}$ נותנת $1+2+3=6$ נקודות, ולכן:

$P=\dfrac{1}{10}=0.1$