קיץ 2024 · מועד א

המכנה חייב להיות שונה מאפס: $\;\left(x^2-a\right)^2\ne0$.

ביטוי בריבוע מתאפס רק כשהביטוי עצמו מתאפס ⟸ $\;x^2-a\ne0$ ⟸ $\;x^2\ne a$.

נתון $\;a>0$, ולכן $\;x\ne\sqrt a\;$ וגם $\;x\ne-\sqrt a$.

אסימפטוטות אנכיות במקומות שבהם המכנה מתאפס והמונה לא: בנקודות $x=\pm\sqrt a$ המונה הוא $\pm4\sqrt a\ne0$.

האסימפטוטות האנכיות: $x=\sqrt a$, וגם $x=-\sqrt a$.

דרגת המונה היא $1$ ודרגת המכנה היא $4$, ולכן $\;\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{4x}{\left(x^2-a\right)^2}=0$.

האסימפטוטה המאוזנת: $\;y=0$.

כלל המנה:

מצמצמים בגורם $\left(x^2-a\right)$: $f'(x)=4\cdot\dfrac{\left(x^2-a\right)-4x^2}{\left(x^2-a\right)^3}$

מכנסים: $f'(x)=\dfrac{4\left(-3x^2-a\right)}{\left(x^2-a\right)^3}$

מוציאים את הסימן: $f'(x)=\dfrac{-4\left(3x^2+a\right)}{\left(x^2-a\right)^3}$

המונה שלילי תמיד ($a>0$ וגם $3x^2\ge0$), ולכן סימן $f'$ הפוך לסימן $\left(x^2-a\right)^3$, כלומר הפוך לסימן $x^2-a$.

טבלת הסימנים:

הנגזרת אינה מתאפסת באף נקודה, ולכן לפונקציה אין נקודות קיצון.

האסימפטוטות $x=-\sqrt a$, $\;x=\sqrt a$, $\;y=0$ מחלקות את הגרף לשלושה ענפים.

$f(-x)=\dfrac{-4x}{\left(x^2-a\right)^2}=-f(x)$, ולכן הפונקציה אי-זוגית והגרף סימטרי ביחס לראשית.

המכנה חיובי תמיד, ולכן סימן $f$ הוא סימן $4x$: שלילית כאשר $x<0$ וחיובית כאשר $x>0$. הראשית היא נקודת החיתוך היחידה עם הצירים.

ענף שמאלי ($x<-\sqrt a$): יורד ושלילי. מתקרב לאפס מלמטה כאשר $x\to-\infty$, ויורד לאינסוף שלילי ליד $x=-\sqrt a$.

ענף אמצעי ($-\sqrt a<x<\sqrt a$): עולה, מאינסוף שלילי דרך הראשית עד אינסוף חיובי ליד $x=\sqrt a$.

ענף ימני ($x>\sqrt a$): יורד וחיובי, מאינסוף חיובי אל האפס מלמעלה.

נתון $g'(x)=f(x)$, ולכן $g''(x)=f'(x)$: הקעירות של $g$ נקבעת לפי סימן $f'$ מסעיף א(3).

טבלת הסימנים של $g''$:

קעירות כלפי מעלה כאשר $g''>0$: $-\sqrt a<x<\sqrt a$.

קעירות כלפי מטה כאשר $g''<0$: $x<-\sqrt a$, וגם $x>\sqrt a$.

הגורם $2x$ הוא הנגזרת הפנימית של $x^2-a$:

אינטגרל של חזקה: $g(x)=2\cdot\dfrac{\left(x^2-a\right)^{-1}}{-1}+c=\dfrac{-2}{x^2-a}+c$

מציבים את הנקודה $(0,0)$: $0=\dfrac{-2}{0-a}+c=\dfrac2a+c$

ולכן: $c=-\dfrac2a$

בביטוי מופיע רק $x^2$, ולכן $g(-x)=g(x)$: הפונקציה זוגית והגרף סימטרי ביחס לציר $y$.

טבלת הסימנים של $g'=f$ (סימן $f$ מסעיף ב):

בנקודה $x=0$ הסימן עובר משלילי לחיובי, ולכן $(0,0)$ נקודת מינימום.

אסימפטוטות אנכיות: $x=\pm\sqrt a$.

כאשר $x\to\pm\infty$: $\dfrac{-2}{x^2-a}\to0$

לכן אסימפטוטה מאוזנת: $y=-\dfrac2a$

הענף האמצעי: קעור כלפי מעלה (סעיף ג), יורד עד $(0,0)$ ועולה אחריה, ושואף לאינסוף חיובי ליד שתי האסימפטוטות.

שני הענפים החיצוניים: קעורים כלפי מטה, שואפים לאינסוף שלילי ליד האסימפטוטות האנכיות, ומתקרבים לישר $y=-\dfrac2a$ מלמטה.

$h=f\cdot g$, ולכן די לבדוק לאן שואפת כל אחת מהן בקצוות התחום.

כאשר $x\to\pm\infty$: $f\to0$, וגם $g\to-\dfrac2a$ (מספר סופי).

לכן $h\to0$: אסימפטוטה מאוזנת $y=0$.

כאשר $x\to\pm\sqrt a$: $|f|\to\infty$, וגם $|g|\to\infty$.

לכן $|h|\to\infty$: אסימפטוטות אנכיות $x=\sqrt a$, וגם $x=-\sqrt a$.

סימן המכפלה נקבע ממכפלת הסימנים של $f$ ושל $g$. סימן $f$ (סעיף ב) הוא סימן $x$.

בתחום $|x|<\sqrt a$ מתקיים $x^2-a<0$, ולכן:

$\dfrac{-2}{x^2-a}=\dfrac{2}{a-x^2}\ge\dfrac2a$

מכאן $g\ge0$, ושוויון רק בנקודה $x=0$.

בתחום $|x|>\sqrt a$: $x^2-a>0$, ולכן שני האיברים של $g$ שליליים, כלומר $g<0$.

טבלת הסימנים:

חיוביות: $x<-\sqrt a$ (שלילי כפול שלילי), וגם $0<x<\sqrt a$ (חיובי כפול חיובי).