קיץ 2025 · מועד א

אנכית: המכנה מתאפס בנקודה $x=1$, והמונה $a\neq0$:

$x = 1$

אופקית: כאשר $x\to\pm\infty$ מתקיים $\dfrac{a}{(x-1)^2}\to 0$.

ולכן האסימפטוטה האופקית: $y = 0 + 6 = 6$

הנקודה: $y_C = f(2) = \dfrac{a}{(2-1)^2} + 6 = a+6 \;\Rightarrow\; C(2,\;a+6)$

גזירה: $f(x) = a(x-1)^{-2}+6 \;\Rightarrow\; f'(x) = -2a(x-1)^{-3} = \dfrac{-2a}{(x-1)^3}$

השיפוע: $m = f'(2) = \dfrac{-2a}{1} = -2a$

משוואת המשיק דרך $C$: $y - (a+6) = -2a(x-2)$

פתיחת סוגריים: $y = -2ax + 4a + a + 6 = -2ax + 5a + 6$

הנקודה $B$ (מציבים $x=1$ במשוואת המשיק): $y_B = -2a + 5a + 6 = 3a+6$, כלומר $B(1,\;3a+6)$

הנקודה $A$ (מציבים $y=0$): $0 = -2ax+5a+6 \;\Rightarrow\; x_A = \dfrac{5a+6}{2a}$

כלומר $A\left(\dfrac{5a+6}{2a},\;0\right)$

הקטע $AD$ מונח על ציר $x$, והקטע $BD$ על הישר $x=1$, ולכן הזווית בנקודה $D$ ישרה ושני הקטעים ניצבים.

הניצבים:

$AD = x_A - 1 = \dfrac{5a+6}{2a} - 1 = \dfrac{3a+6}{2a}$

$BD = 3a+6$

שטח המשולש: $S_{\triangle ADB} = \dfrac{AD\cdot BD}{2} = \dfrac12\cdot\dfrac{3a+6}{2a}\cdot(3a+6)$

מכאן $S_{\triangle ADB} = \dfrac{(3a+6)^2}{4a}$

פותחים את הביטוי מסעיף ג לפני הגזירה:

גוזרים לפי $a$ ומשווים לאפס:

$S'(a) = \dfrac94\left(1 - \dfrac{4}{a^2}\right) = 0 \;\Rightarrow\; a^2 = 4$

מכאן $a = 2$ (נתון $a>0$, ולכן $a=-2$ נפסל).

טבלת הסימנים (מכנה משותף: $S'(a) = \dfrac{9\left(a^2-4\right)}{4a^2}$, והמכנה חיובי):

בנקודה $a=2$ הסימן עובר משלילי לחיובי, ולכן שם מינימום.

(ערך המינימום: $S(2) = \dfrac94(2+4+2) = 18$.)