קיץ 2025 · מועד א

נוסחת ברנולי: $\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, כאן $n=3$ והסתברות ההצלחה (מפלגה א׳) היא $P$.

בדיוק אחד מהשלושה הצביע למפלגה א׳:

$\dbinom{3}{1}P(1-P)^2 = 3P(1-P)^2$

שלושתם הצביעו למפלגה ב׳:

$(1-P)^3$

לפי הנתון: $3P(1-P)^2 = 2(1-P)^3$

נתון $P<1$, ולכן $(1-P)^2\neq0$ ומותר לחלק בו:

$3P = 2(1-P) \;\Rightarrow\; 5P = 2 \;\Rightarrow\; P = 0.4$

בדיקה: $3(0.4)(0.36) = 0.432$, וגם $2(0.6)^3 = 0.432$ ✓

ארבעתם הצביעו למפלגה א׳: $0.4^4 = 0.0256$

ארבעתם הצביעו למפלגה ב׳: $0.6^4 = 0.1296$

העץ, המסלול "ארבעתם א׳" מסומן:

ארבעתם לאותה מפלגה (שני מסלולים זרים):

$0.0256+0.1296 = 0.1552$

הסתברות מותנית, מתוך "ארבעתם לאותה מפלגה":

$\dfrac{0.0256}{0.1552} = \dfrac{16}{97} \approx 0.1649$

בדיקת סבירות: התוצאה קטנה מההסתברות $0.4$, וזה הגיוני: "כולם אותו דבר" נוטה לטובת המפלגה הגדולה יותר.

מסעיף א: מפלגה א׳ בהסתברות $0.4$, מפלגה ב׳ בהסתברות $0.6$.

נסמן את ההסתברות שמצביע הוא מבוגר באות $x$, ולכן צעיר בהסתברות $1-x$.

$49\%$ מהמבוגרים הצביעו ב׳, ולכן $51\%$ מהם הצביעו א׳.

$18\%$ מהצעירים הצביעו א׳, ולכן $82\%$ מהם הצביעו ב׳.

הטבלה הדו-ממדית (שורות: גיל, עמודות: מפלגה), התא המבוקש מודגש:

סכום עמודת מפלגה ב׳ הוא $0.6$:

$0.49x + 0.82(1-x) = 0.6$

פותחים סוגריים: $0.82 - 0.33x = 0.6$

ולכן $0.33x = 0.22$, כלומר $x = \dfrac23$

ההסתברות לצעיר: $1 - x = 1 - \dfrac23 = \dfrac13$

בקרב הצעירים: מפלגה א׳ בהסתברות $0.18$, מפלגה ב׳ בהסתברות $0.82$ (נתוני סעיף ג).

דני עוצר ברגע שיש בידיו נציג משתי המפלגות, ולכן "בדיוק $5$ שיחות" פירושו: ארבע הראשונות לאותה מפלגה, והחמישית למפלגה האחרת.

העץ, שני המסלולים המבוקשים מסומנים:

שני מסלולים זרים:

$P = 0.18^4\cdot 0.82 + 0.82^4\cdot 0.18$

המסלול הראשון: $0.00104976\cdot 0.82 = 0.00086$

המסלול השני: $0.45212176\cdot 0.18 = 0.08138$

סכום המסלולים: $0.00086 + 0.08138 \approx 0.0822$