קיץ 2025 · מועד א

נסרטט לפי הנתונים, והנקודה $F$ היא נקודת ההשקה של המעגל עם הצלע $CB$:

הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה: $OF \perp CB$, וגם $OF = r$.

הנקודה $O$ מרכז המעגל החסום, ולכן $CO$ חוצה את הזווית $ACB$:

$\angle OCF = \alpha$

במשולש ישר הזווית $COF$ הקטע $CO$ הוא היתר, והניצב $OF$ מול הזווית $\alpha$:

$\sin\alpha = \dfrac{OF}{CO} = \dfrac{r}{CO} \;\Rightarrow\; CO = \dfrac{r}{\sin\alpha}$

נסרטט את המשולש $ACO$ (הקטע $AO$ מונח על ציר הסימטריה $AF$):

המשולש שווה שוקיים: $\angle ABC = \angle ACB = 2\alpha$

ולכן $\angle BAC = 180^{\circ}-4\alpha$

$AO$ חוצה את הזווית $BAC$ (מרכז המעגל החסום):

$\angle CAO = 90^{\circ}-2\alpha$

במשולש $ACO$ (עם $\angle ACO = \alpha$):

$\angle AOC = 180^{\circ} - \alpha - \left(90^{\circ}-2\alpha\right) = 90^{\circ}+\alpha$

משפט הסינוסים במשולש $ACO$:

$\dfrac{AC}{\sin(90^{\circ}+\alpha)} = \dfrac{CO}{\sin(90^{\circ}-2\alpha)}$

כלומר $\dfrac{AC}{\cos\alpha} = \dfrac{CO}{\cos 2\alpha}$

מציבים $CO = \dfrac{r}{\sin\alpha}$ מסעיף (1):

$AC = \dfrac{CO\cos\alpha}{\cos2\alpha} = \dfrac{r\cos\alpha}{\sin\alpha\cos2\alpha}$

מציבים את שני הביטויים מסעיף א (הסרטוט בסעיף א(2)) בתנאי $AC = \sqrt3\cdot CO$:

מצמצמים: $\dfrac{\cos\alpha}{\cos2\alpha} = \sqrt3$

כלומר $\cos\alpha = \sqrt3\cos2\alpha$

מציבים $\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$ ומסמנים $t=\cos\alpha$:

$t = \sqrt3\left(2t^2-1\right) \;\Rightarrow\; 2\sqrt3\,t^2 - t - \sqrt3 = 0$

נוסחת השורשים: $t = \dfrac{1\pm\sqrt{1+4\cdot2\sqrt3\cdot\sqrt3}}{4\sqrt3} = \dfrac{1\pm 5}{4\sqrt3}$

השורש החיובי: $t = \dfrac{6}{4\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{2}$

השורש השלילי: $t = -\dfrac{1}{\sqrt3}$

תנאי התחום: $\angle BAC = 180^{\circ}-4\alpha > 0$

ולכן $\alpha < 45^{\circ}$, כלומר $\cos\alpha>0$ והשורש השלילי נפסל.

מכאן: $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt3}{2} \;\Rightarrow\; \alpha = 30^{\circ}$

עם $\alpha=30^{\circ}$: $\angle ACB = \angle ABC = 60^{\circ}$

ולכן $\angle BAC = 180^{\circ}-120^{\circ} = 60^{\circ}$, והמשולש שווה צלעות.

מסעיף א(1): $CO = \dfrac{r}{\sin30^{\circ}} = 2r$

הנקודה $K$ על המעגל, ולכן $OK = r$. נסרטט:

הנקודה $K$ על הקטע $BO$, ולכן $\angle KOC = \angle BOC$.

במשולש $BOC$ חוצי הזוויות נותנים $\angle OCB = \angle OBC = 30^{\circ}$:

$\angle KOC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ}$

משפט הקוסינוסים במשולש $KOC$:

$CK^2 = r^2 + (2r)^2 - 2\cdot r\cdot 2r\cos120^{\circ}$

מצמצמים: $CK^2 = 5r^2 - 4r^2\left(-\tfrac12\right) = 7r^2$

מציבים $CK = \sqrt{63}$: $63 = 7r^2 \;\Rightarrow\; r^2 = 9 \;\Rightarrow\; r = 3$ (השורש השלילי נפסל, $r$ אורך)

נסרטט לפי הנתונים ($r=3$ מסעיף ג, המשולש המודגש $CKE$ ששטחו $6$, והגובה מהנקודה $K$ מסומן $h$):

המשולש שווה צלעות (סעיף ג), ולכן מטעמי סימטריה $BO = CO = 2r = 6$.

$OK = r = 3 = \dfrac{BO}{2}$, ולכן $K$ היא אמצע הקטע $BO$.

מרחק הנקודה $B$ מהישר $CB$ הוא $0$, ומרחק הנקודה $O$ ממנו הוא $r=3$. הנקודה $K$ באמצע ביניהן:

$h = 1.5$

בסיס המשולש $CKE$ מונח על $CB$:

$S_{\triangle CKE} = \dfrac{CE\cdot h}{2} = \dfrac{CE\cdot 1.5}{2} = 6 \;\Rightarrow\; CE = 8$

צלע משולש שווה צלעות לפי רדיוס המעגל החסום: $r = \dfrac{a}{2\sqrt3}$

ולכן $a = 2\sqrt3\,r = 6\sqrt3$

מכאן: $BE = CB - CE = 6\sqrt3 - 8 \approx 2.39$