קיץ 2025 · מועד א

נסרטט לפי הנתונים, ונסמן $\angle KAE = \alpha$:

$AK$ משיק למעגל הקטן בנקודה $A$:

$\angle KAO = 90^{\circ}$ (משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה)

הקרן $AE$ נמצאת בתוך הזווית $KAO$:

$\angle EAO = 90^{\circ} - \alpha$

$OA = OE = r$ (רדיוסים), ולכן המשולש $AOE$ שווה שוקיים:

$\angle OEA = \angle OAE = 90^{\circ}-\alpha$

סכום הזוויות במשולש $AOE$:

$\angle AOE = 180^{\circ} - 2\left(90^{\circ}-\alpha\right) = 2\alpha = 2\angle KAE$ מש״ל

נסרטט את המשך הקטע $AE$ עד הנקודה $M$, אמצע הקטע $OK$ (נתון):

מסעיף א: $\angle KAO = 90^{\circ}$, ולכן המשולש $KAO$ ישר זווית והיתר שלו $OK$.

הנקודה $M$ אמצע היתר, ולכן:

$MO = MK = MA$ (במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר)

שלוש הנקודות $O$, $K$, $A$ נמצאות על המעגל הגדול (הנקודות $O$, $A$ לפי הנתון, והנקודה $K$ כי המשיק חותך שם את המעגל הגדול).

הנקודה $M$ במרחק שווה משלוש נקודות על המעגל הגדול, ולכן היא מרכז המעגל הגדול. מש״ל

(מכאן גם $MO = MA = R$, והקטע $OK$ הוא קוטר במעגל הגדול.)

נסרטט את שני המשולשים, עם מה שהוכח בסעיפים א ו-ב:

מסעיף ב: $MO = MA$, ולכן המשולש $MOA$ שווה שוקיים:

$\angle MOA = \angle MAO$

הנקודה $E$ על הקטע $AM$, ולכן:

$\angle MAO = \angle EAO = 90^{\circ}-\alpha$ (סעיף א)

זוויות המשולש $MOA$:

$\angle MAO = \angle MOA = 90^{\circ}-\alpha$

$\angle OMA = 180^{\circ}-2(90^{\circ}-\alpha) = 2\alpha$

זוויות המשולש $OEA$ (סעיף א):

$\angle OAE = \angle OEA = 90^{\circ}-\alpha$

$\angle AOE = 2\alpha$

לשני המשולשים אותן זוויות, ולכן לפי משפט דמיון ז.ז:

$\triangle MOA \sim \triangle OEA$ (בהתאמה $M\leftrightarrow O$, $O\leftrightarrow E$, $A\leftrightarrow A$) מש״ל

נסרטט לפי הנתונים ($R = 1.5r$, והמשולש המודגש $MEO$ ששטחו $S$):

יחס הדמיון מסעיף ג (הצלעות המתאימות $MO$, $OE$):

$\dfrac{MO}{OE} = \dfrac{R}{r} = 1.5$

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון:

$\dfrac{S_{\triangle MOA}}{S_{\triangle OEA}} = 1.5^2 = 2.25$

הנקודות $A$, $E$, $M$ על ישר אחד, ולכן הקטע $OE$ מחלק את המשולש $MOA$ לשניים:

$S_{\triangle MOA} = S_{\triangle OEA} + S_{\triangle MEO}$

נסמן $S_{\triangle OEA} = t$

ולכן $S_{\triangle MOA} = 2.25t$

ומכאן $S = S_{\triangle MEO} = 2.25t - t = 1.25t$

מכאן $t = \dfrac{S}{1.25} = 0.8S$

ולכן $S_{\triangle MOA} = 2.25\cdot 0.8S = 1.8S$

הנקודה $M$ אמצע הקטע $OK$, ולכן $AM$ תיכון במשולש $OKA$ ומחלק אותו לשני משולשים שווי שטח:

$S_{\triangle OKA} = 2\cdot S_{\triangle MOA} = 2\cdot 1.8S = 3.6S$