קיץ 2026 · מועד א

תנאי השורש הריבועי: $\;x^2 - 1 \ge 0$

שורשים $\;x=-1\;$ ו-$\;x=1$; מקדם ה-$x^2$ חיובי ("חיוך"), ולכן הביטוי אי-שלילי מחוץ לשורשים וגם בהם:

$x \le -1\;$ או $\;x \ge 1$

תנאי עזר — אגף שמאל אי-שלילי, ולכן $\;3x - 3 \ge 0 \;\Rightarrow\; x \ge 1$ (מכיל גם את תחום ההגדרה בענף הימני).

שני האגפים אי-שליליים, ולכן מותר להעלות בריבוע:

מוציאים גורם משותף $(x-1)$:

$(x-1)\big[4(x+1) - 9(x-1)\big] = 0$

$(x-1)(-5x + 13) = 0$

שני הפתרונות מקיימים $x\ge1$. בדיקה בפונקציה:

$f(1) = 2\sqrt{1-1} = 0$ ✓

$f(2.6) = 2\sqrt{6.76-1} = 2\sqrt{5.76} = 2\cdot 2.4 = 4.8$ ✓

נקודות החיתוך: $(1,\,0)$ וגם $(2.6,\,4.8)$.

$A$ על הגרף: $\;A\left(t,\;2\sqrt{t^2-1}\right)\;$, ולפי סעיף ב היא בין נקודות החיתוך: $\;1 < t < 2.6$

הקטע $AB$ מקביל לציר ה-$y$, ולכן $\;x_B = t\;$, ו-$B$ על הישר: $\;B(t,\; 3t-3)$

בתחום שבין נקודות החיתוך הגרף מעל הישר (בדיקה ב-$t=2$: $\;2\sqrt3\approx3.46 > 3\cdot2-3=3$ ✓), ולכן $\;AB = y_A - y_B$:

$AB = 2\sqrt{t^2-1} - (3t-3) = 2\sqrt{t^2-1} - 3t + 3\;$, עבור $\;1<t<2.6$

הקטע $AC$ מקביל לציר ה-$x$, ולכן $\;y_C = y_A = 2\sqrt{t^2-1}$

$C$ על הישר: $\;2\sqrt{t^2-1} = 3x_C - 3 \;\Rightarrow\; x_C = \dfrac{2}{3}\sqrt{t^2-1} + 1$

בגובה של $A$ הישר נמצא מימין לגרף, ולכן $\;x_C > x_A$ (בדיקה ב-$t=2$: $\;\tfrac23\sqrt3+1 \approx 2.155 > 2$ ✓)

פונקציית המטרה $L(t) = AB + AC$ (סעיפים ג(1), ג(2)):

$L(t) = \dfrac{8}{3}\sqrt{t^2-1} - 4t + 4$, בתחום $1 < t < 2.6$

כלל השרשרת: $\left(\sqrt{t^2-1}\right)' = \dfrac{2t}{2\sqrt{t^2-1}} = \dfrac{t}{\sqrt{t^2-1}}$

$L'(t) = \dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{t}{\sqrt{t^2-1}} - 4$

מאפסים את הנגזרת:

$\dfrac{8t}{3\sqrt{t^2-1}} = 4$

$8t = 12\sqrt{t^2-1}\;\;\Big/:4$

$2t = 3\sqrt{t^2-1}$

בתחום $1<t<2.6$ שני האגפים חיוביים, ולכן מותר להעלות בריבוע:

$4t^2 = 9t^2 - 9$

$5t^2 = 9$

$t^2 = \dfrac95$

$t = \dfrac{3}{\sqrt5} = \dfrac{3\sqrt5}{5} \approx 1.342$ (השורש השלילי נפסל, כי $t>1$)

ובתחום: $1 < 1.342 < 2.6$ ✓

בדיקת מקסימום, הצבות משני צידי הנקודה:

כאשר $t \to 1^{+}$: המכנה $\sqrt{t^2-1}\to 0^{+}$ והמונה חיובי, ולכן $L' \to +\infty$.

$t = 2.4$: $\sqrt{2.4^2-1} = \sqrt{4.76} \approx 2.182$

$L'(2.4) \approx \dfrac83\cdot\dfrac{2.4}{2.182} - 4 \approx 2.933 - 4 < 0$

טבלת הסימנים:

$L'$ עוברת מחיובי לשלילי, ולכן זו נקודת מקסימום: $t = \dfrac{3\sqrt5}{5} \approx 1.342$