קיץ 2026 · מועד א

אנכית. $(x-3)^2 = 0$, כלומר $x = 3$.

המונה שם: $a\cdot 3 = 3a \neq 0$ (נתון $a>0$).

לכן $x=3$ היא אסימפטוטה אנכית.

אופקית. דרגת המונה קטנה מדרגת המכנה. מחלקים מונה ומכנה בגורם $x^2$:

הגבול הוא $\dfrac{0}{1} = 0$.

לכן $y=0$ היא אסימפטוטה אופקית משני הצדדים. שתי האסימפטוטות אינן תלויות בפרמטר $a$.

כלל המנה, עם $u = ax$ ($u' = a$) ועם $v = (x-3)^2$ ($v' = 2(x-3)$):

מוציאים גורם משותף $(x-3)$ ומצמצמים (מותר, כי $x\neq 3$):

מאפסים את הנגזרת:

$-a(x+3) = 0$

$x = -3$ (כי $a>0$)

הערך $x=3$ אינו בתחום ההגדרה, ולכן אינו נקודת קיצון.

טבלת הסימנים (המונה $-a(x+3)$, המכנה $(x-3)^3$):

בנקודה $x=-3$ הסימן עובר משלילי לחיובי, ולכן שם מינימום.

נקודת מינימום: $\left(-3,\; -\dfrac{a}{12}\right)$. בענף $x>3$ אין קיצון: הפונקציה יורדת שם ברציפות.

מסעיפים קודמים:

אסימפטוטות: $x=3$, $y=0$

מינימום: $\left(-3,\,-\dfrac{a}{12}\right)$ (ערך שלילי, כי $a>0$)

מהטבלה בסעיף א(2): יורדת כאשר $x<-3$, עולה כאשר $-3<x<3$, יורדת כאשר $x>3$.

חיתוך עם הצירים: $f(x)=0 \;\Rightarrow\; ax=0 \;\Rightarrow\; x=0$. הגרף עובר בראשית $(0,0)$, וזו גם נקודת החיתוך עם ציר $y$.

סימן $f$: המכנה $(x-3)^2$ חיובי תמיד, ולכן הסימן נקבע לפי $ax$: שלילי כאשר $x<0$, חיובי כאשר $0<x<3$ וגם כאשר $x>3$.

$x\to-\infty$: $f\to 0^{-}$, מתקרבת לאסימפטוטה $y=0$ מלמטה.

$x\to 3^{\pm}$: המונה שואף לערך $3a>0$ והמכנה שואף לאפס מלמעלה ($0^{+}$), ולכן $f\to +\infty$ משני הצדדים.

$x\to+\infty$: $f\to 0^{+}$, מתקרבת לאסימפטוטה $y=0$ מלמעלה.

הענף השמאלי ($x<3$) יורד מהאסימפטוטה אל המינימום $\left(-3,-\tfrac{a}{12}\right)$, עולה, חוצה את הראשית ומזנק לאינסוף.

הענף הימני ($x>3$) יורד מאינסוף אל האסימפטוטה $y=0$. ראו סקיצה.

נקודה משותפת עם ציר $x$: $g(x)=0$, כלומר $f(x)+0.5 = 0$, כלומר $f(x) = -0.5$. השאלה: כמה פתרונות יש למשוואה הזו.

לפי הסקיצה מסעיף ב, $f$ שלילית רק בתחום $x<0$. שם היא יורדת מאפס אל המינימום $-\dfrac{a}{12}$ (בנקודה $x=-3$), ועולה חזרה אל $0$ (בנקודה $x=0$). בענף $x>0$ היא חיובית ולעולם אינה שווה $-0.5$.

לכן, עבור ערך שלילי $c$:

אין פתרון: $c<-\dfrac{a}{12}$

פתרון יחיד: $c=-\dfrac{a}{12}$

שני פתרונות: $-\dfrac{a}{12}<c<0$

בדיוק נקודה אחת:

$-\dfrac{a}{12} = -0.5$

$a = 6$ (מקיים $a>0$ ✓)

בדיקה: עם $a=6$ המינימום של $f$ הוא $-0.5$, ולכן המינימום של $g$ הוא $-0.5+0.5 = 0$. הגרף משיק לציר $x$ בנקודה $(-3,0)$ ואינו חוצה אותו ✓

$a=6$: $g(x) = \dfrac{6x}{(x-3)^2} + 0.5$, בתחום $x\neq 3$.

סימן $g$. מסעיף ג המינימום של $g$ בענף השמאלי הוא בדיוק $0$ (בנקודה $x=-3$), ובענף הימני $f>0$ ולכן $g>0.5$.

לכן $g(x)\ge 0$ בכל תחום ההגדרה, ושווה $0$ רק בנקודה $x=-3$.

סימן $g'$. הזזה אנכית אינה משנה את הנגזרת, והסימנים הם של טבלת סעיף א(2):

$g'(x) = f'(x) = \dfrac{-6(x+3)}{(x-3)^3}$

טבלת הסימנים של המכפלה $h = g\cdot g'$:

חיוביות: $-3<x<3$. שליליות: $x<-3$ וכן $x>3$.

הפונקציה $h$ היא מכפלה של $g$ בנגזרת שלה, ולכן הפונקציה הקדומה היא $H(x) = \dfrac{\big(g(x)\big)^2}{2}$:

לפי ד(1) $h$ מחליפה סימן בנקודה $x=-3$: שלילית בתחום $-9\le x<-3$ וחיובית בתחום $-3<x\le 0$. מפצלים לשני שטחים, והחלק השלילי בערך מוחלט.

ערכי $g$:

$g(-9) = \dfrac{6\cdot(-9)}{(-9-3)^2} + 0.5 = \dfrac{-54}{144} + 0.5 = \dfrac18$

$g(-3) = \dfrac{-18}{36} + 0.5 = 0$

$g(0) = \dfrac{0}{9} + 0.5 = \dfrac12$

ערכי $H$:

$H(-9) = \dfrac{(1/8)^2}{2} = \dfrac{1}{128}$

$H(-3) = \dfrac{0^2}{2} = 0$

$H(0) = \dfrac{(1/2)^2}{2} = \dfrac18$