קיץ 2026 · מועד א

לפי ההגדרה, $c_n$ הנדסית אם היחס $\dfrac{c_{n+1}}{c_n}$ קבוע ואינו תלוי במספר האיבר $n$.

(החלוקה חוקית: איברי סדרה הנדסית שונים מאפס, ולכן גם $c_n\neq 0$)

מנות הסדרות הנתונות:

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = q$

$\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = 2q$

$\dfrac{c_{n+1}}{c_n} = q \cdot 2q = 2q^2$, קבוע שאינו תלוי במספר האיבר $n$.

לכן $c_n$ היא סדרה הנדסית שמנתה $\;2q^2$. מש״ל

$c_2 = a_2 b_2 = (a_1 q)(b_1 \cdot 2q) = 2q^2 a_1 b_1$

מציבים את הנתון $b_1 = a_1$: $c_2 = 2q^2 (a_1)^2$

$2q^2 (a_1)^2 = \dfrac{1}{8}(a_1)^2\;\;\Big/:(a_1)^2$ (מותר, איבר של סדרה הנדסית אינו אפס)

$q=-\dfrac{1}{4}$ נפסל: במנה שלילית סימני האיברים מתחלפים לסירוגין, והסדרה $a_n$ אינה עולה.

$q = \dfrac{1}{4}$

ומתקיים $|q|=\tfrac14<1$ וגם $|2q|=\tfrac12<1$, כנדרש לסכומים בסעיף ד ✓

מסעיף ב: $q = \dfrac14$, כלומר $0<q<1$.

הסדרה עולה, ולכן לכל $n$:

$a_{n+1} > a_n$

$a_1 q^{\,n} > a_1 q^{\,n-1}$

מעבירים אגף ומוציאים גורם משותף:

$a_1 q^{\,n-1}\,(q-1) > 0$

סימני הגורמים:

$q^{\,n-1} = \left(\tfrac14\right)^{n-1} > 0$

$q-1 = \tfrac14-1 = -\tfrac34 < 0$

מכפלת גורם חיובי בגורם שלילי היא שלילית, ולכן כדי שהמכפלה כולה תהיה חיובית חייב $a_1 < 0$, כלומר שלילי.

(אינטואיציה: כאשר $0<q<1$ הערכים המוחלטים קטנים; באיברים שליליים התקרבות לאפס היא עלייה, למשל $-16,\,-4,\,-1,\ldots$)

מנת $c_n$ (מסעיפים א, ב):

$2q^2 = 2\cdot\left(\tfrac14\right)^2 = \dfrac18$, ומתקיים $0<\dfrac18<1$.

$c_1 = a_1 b_1 = a_1 \cdot a_1 = (a_1)^2 > 0$ (ריבוע של מספר שאינו אפס)

לכן לכל $n$: $c_n = (a_1)^2\left(\tfrac18\right)^{n-1} > 0$

$c_{n+1} - c_n = c_n\left(\dfrac18 - 1\right) = -\dfrac78\,c_n < 0$ (כי $c_n>0$)

לכן $c_{n+1} < c_n$ לכל $n$: הסדרה $c_n$ יורדת.

סכום אין-סופי לכל אחת מהסדרות (מותר: $|q|,\,|2q|,\,|2q^2|<1$):

נוסחת השורשים:

הפתרונות: $a_1 = \dfrac{217}{12}$ או $a_1 = -21$.

לפי סעיף ג(1) $a_1<0$, ולכן $\dfrac{217}{12}$ נפסל.

$a_1 = -21$. בדיקה:

$S_1=-28$, $S_2=-42$, $S_3=\dfrac{8\cdot 441}{7}=504$

$-28-42+504=434$ ✓