קיץ 2025 · מועד ב

$E$ על הגרף ועל ציר ה-$y$: $\;f(0)=\sqrt{R^2-0}=R$ ⟸ $\;E(0,\,R)$.

$A$ על הגרף ושיעור ה-$x$ שלה הוא $t$ ⟸ $\;A\left(t,\,\sqrt{R^2-t^2}\right)$.

$F$ על הצלע $AB$ שמקבילה לציר ה-$x$, ולכן שיעור ה-$y$ שלה זהה לזה של $A$: $\;F\left(0,\,\sqrt{R^2-t^2}\right)$.

שתיהן על ציר ה-$y$: $\;EF=y_E-y_F=R-\sqrt{R^2-t^2}$

הגרף סימטרי ביחס לציר ה-$y$, ולכן $\;B\left(-t,\,\sqrt{R^2-t^2}\right)$, ומכאן $\;C(-t,\,0)\;$ ו-$\;D(t,\,0)$.

צלע הריבוע היא $EF=R-\sqrt{R^2-t^2}$, ולכן היקפו $4R-4\sqrt{R^2-t^2}$.

פונקציית ההפרש, בתחום $0<t<R$:

מכנסים: $h(t)=4t-4R+6\sqrt{R^2-t^2}$

נגזרת: $h'(t)=4+6\cdot\dfrac{-2t}{2\sqrt{R^2-t^2}}=4-\dfrac{6t}{\sqrt{R^2-t^2}}$

שני האגפים חיוביים בתחום, ולכן מותר להעלות בריבוע:

$t=\dfrac{2R}{\sqrt{13}}=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}R\approx0.55R$ (השורש השלילי נפסל כי $t>0$)

טבלת הסימנים: בנגזרת המחוסר $\dfrac{6t}{\sqrt{R^2-t^2}}$ גדל לאורך כל התחום (המונה גדל והמכנה קטן), ולכן $h'$ מחליפה סימן פעם אחת:

הסימן עובר מפלוס למינוס, ולכן זו נקודת מקסימום.