קיץ 2025 · מועד ב

בסיס ($n=1$):

אגף שמאל: $\dfrac{4\cdot1-2}{3^1}=\dfrac23$

אגף ימין: $2-\dfrac{2\cdot1+2}{3^1}=2-\dfrac43=\dfrac23$ ✓

הנחה (עבור $n=k$):

צעד ($n=k+1$), האיבר הנוסף: $\dfrac{4(k+1)-2}{3^{k+1}}=\dfrac{4k+2}{3^{k+1}}$

מחברים אותו לאגף ימין של ההנחה: $2-\dfrac{2k+2}{3^k}+\dfrac{4k+2}{3^{k+1}}$

מכנה משותף: $2-\dfrac{3(2k+2)}{3^{k+1}}+\dfrac{4k+2}{3^{k+1}}$

מכנסים: $2-\dfrac{6k+6-4k-2}{3^{k+1}}=2-\dfrac{2k+4}{3^{k+1}}$

אגף ימין עבור $n=k+1$: $2-\dfrac{2(k+1)+2}{3^{k+1}}=2-\dfrac{2k+4}{3^{k+1}}$, זהה ✓

הבסיס נכון, ומנכונות הטענה עבור $n=k$ נובעת נכונותה עבור $n=k+1$, ולכן הטענה נכונה לכל $n$ טבעי. מש״ל

נסמן $BM=EM=x$ וגם $DM=y$, ולכן $AM=2.5y$.

$\angle ABM=\angle EDM=90^\circ$ (נתון $AB \perp BM$ וגם $ED \perp AD$).

$\angle AMB=\angle EMD=\alpha$ (זוויות קודקודיות: $M$ נמצאת גם על $AD$ וגם על $BE$).

$\triangle AMB \sim \triangle EMD$ (משפט דמיון ז.ז).

יחס הדמיון: $\dfrac{AM}{EM}=\dfrac{BM}{DM}$

מציבים: $\dfrac{2.5y}{x}=\dfrac{x}{y}$

כפל בהצלבה: $x^2=2.5y^2 \;\Rightarrow\; x=y\sqrt{2.5}$

במשולש $EMD$ (ישר-זווית בקודקוד $D$): $\cos\alpha=\dfrac{DM}{EM}=\dfrac{y}{y\sqrt{2.5}}=\dfrac{1}{\sqrt{2.5}}\approx0.6325$

מהיחסים בסעיף (1) עם $DM=6$:

$BC \parallel DM$ (נתון $BC \parallel AD$) וגם $CD \parallel BM$ (נתון $CD \parallel BE$), ולכן $BCDM$ מקבילית.

שטח המשולש $ABM$: $S_{ABM}=\dfrac{AM\cdot BM\cdot\sin\alpha}{2}=\dfrac{15\cdot6\sqrt{2.5}\cdot\sqrt{0.6}}{2}\approx55.11$

זוויות צמודות: $\angle BMD=180^\circ-\alpha$

ולכן: $\sin(\angle BMD)=\sin\alpha$

שטח המקבילית: $S_{BCDM}=DM\cdot BM\cdot\sin\alpha=6\cdot6\sqrt{2.5}\cdot\sqrt{0.6}\approx44.09$

דרגת שתי הפונקציות היא $\;n+1\;$ והמקדם המוביל חיובי.

$n$ אי-זוגי ⟸ הדרגה $n+1$ זוגית ⟸ שני הענפים עולים ל-$+\infty$ — כך נראים גרפים I ו-II.

$n$ זוגי ⟸ הדרגה אי-זוגית ⟸ הגרף בא מ-$-\infty$ ועולה ל-$+\infty$ — כך נראים גרפים III ו-IV.

אפסי $f$: $\;x=0\;$ (מריבוי $n$) ו-$\;x=1\;$ — מימין לראשית. אפסי $g$: $\;x=0\;$ ו-$\;x=-1\;$ — משמאל לראשית.

בגרפים I ו-IV האפס הנוסף מימין לראשית ⟸ שניהם של $f$; בגרפים II ו-III הוא משמאל ⟸ שניהם של $g$.

בשני הגרפים ה"זוגיים" הגרף אכן משיק לציר בראשית (שורש מריבוי $n$ זוגי) — מה שמאשר את החלוקה.

הצבת $n=2$: $g(x)=x^2(x+1)=x^3+x^2$

אפסים: $x=-1$ וגם $x=0$

בתחום $-1<x<0$ מתקיים $x^2>0$ וגם $x+1>0$, ולכן $g(x)>0$ (השטח מעל ציר ה-$x$).

האינטגרל: $S=\displaystyle\int_{-1}^{0}\left(x^3+x^2\right)dx=\left[\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{0}$

מציבים גבולות: $S=0-\left(\dfrac{(-1)^4}{4}+\dfrac{(-1)^3}{3}\right)$

מכנסים: $S=-\left(\dfrac14-\dfrac13\right)=\dfrac{1}{12}$

לפי המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי $g'(x)=f(x)$, ולכן גרף $f$ שבתצלום הוא גרף הנגזרת של $g$.

טבלת הסימנים (הסימנים נקראים מגרף $f$):

בנקודה $x=1$ הסימן עובר ממינוס לפלוס, ולכן שם מינימום.

בנקודה $x=4.5$ הסימן עובר מפלוס למינוס, ולכן שם מקסימום.

בנקודה $x=2.7$ מתקיים $f(2.7)=0$, אבל הגרף משיק לציר ואינו חוצה אותו: הנגזרת אינה מחליפה סימן, ולכן אין שם קיצון.

הנקודה $x=0$ היא קצה תחום ההגדרה, ומימין לה $g$ יורדת: זו נקודת קצה מקסימלית ולא נקודת קיצון פנימית.

הנתון $g(2.7)=0$: $\displaystyle\int_0^{2.7}f(x)\,dx=0$

מפרקים: $\displaystyle\int_0^{1}f\,dx=-\int_1^{2.7}f\,dx=-S$

בתחום $0\le x\le1$ הפונקציה שלילית, ולכן השטח שם: $-\displaystyle\int_0^{1}f\,dx=S$

הנתון $g(4.5)=3S$: $\displaystyle\int_0^{4.5}f\,dx=3S$

החלק עד $2.7$ מתאפס, ולכן: $\displaystyle\int_{2.7}^{4.5}f\,dx=3S$

בתחום $2.7\le x\le4.5$ הפונקציה חיובית, ולכן השטח שם שווה לאינטגרל, כלומר $3S$.

השטח הכולל: $S+S+3S=5S$