קיץ 2025 · מועד ב

המכנה חייב להיות שונה מאפס: $\;\left(x^2-9\right)^2\ne0$

ביטוי בריבוע מתאפס רק כשהביטוי עצמו מתאפס, ולכן $\;x^2-9\ne0$.

$x^2\ne9$ ⟸ $\;x\ne3\;$ וגם $\;x\ne-3$

אסימפטוטות אנכיות במקומות שבהם המכנה מתאפס והמונה לא: ב-$x=3$ המונה הוא $6a\ne0$, וב-$x=-3$ הוא $-6a\ne0$.

האסימפטוטות האנכיות: $\;x=3\;$ ו-$\;x=-3$.

דרגת המונה היא $1$ ודרגת המכנה היא $4$, ולכן $\;\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2ax}{\left(x^2-9\right)^2}=0$.

האסימפטוטה המאוזנת: $\;y=0$.

כלל המנה: $f'(x)=\dfrac{2a\left(x^2-9\right)^2-2ax\cdot2\left(x^2-9\right)\cdot2x}{\left(x^2-9\right)^4}$

מצמצמים בגורם $\left(x^2-9\right)$: $f'(x)=\dfrac{2a\left(x^2-9\right)-8ax^2}{\left(x^2-9\right)^3}$

מכנסים: $f'(x)=\dfrac{-6ax^2-18a}{\left(x^2-9\right)^3}$

גורם משותף: $f'(x)=\dfrac{-6a\left(x^2+3\right)}{\left(x^2-9\right)^3}$

המונה שלילי תמיד ($a>0$ וגם $x^2+3>0$), ולכן סימן $f'$ הפוך לסימן $\left(x^2-9\right)^3$, כלומר הפוך לסימן $x^2-9$.

טבלת הסימנים:

בתחום $-3<x<3$ הנגזרת חיובית, ולכן עלייה.

בתחומים $x<-3$ וגם $x>3$ הנגזרת שלילית, ולכן ירידה.

הנגזרת אינה מתאפסת באף נקודה, ולכן לפונקציה אין נקודות קיצון.

האסימפטוטות $x=-3$, $x=3$ וגם $y=0$ מחלקות את הגרף לשלושה ענפים.

המכנה $\left(x^2-9\right)^2$ חיובי תמיד, ולכן סימן הפונקציה הוא סימן $2ax$: שלילית כאשר $x<0$ וחיובית כאשר $x>0$.

הראשית היא נקודת החיתוך היחידה עם הצירים.

ענף שמאלי ($x<-3$): יורד ושלילי. כאשר $x\to-\infty$ הוא מתקרב אל $y=0$ מלמטה, וכאשר $x\to-3^-$ ערכיו שואפים אל $-\infty$.

ענף אמצעי ($-3<x<3$): עולה. כאשר $x\to-3^+$ ערכיו שואפים אל $-\infty$, הוא עובר בראשית, וכאשר $x\to3^-$ ערכיו שואפים אל $+\infty$.

ענף ימני ($x>3$): יורד וחיובי. כאשר $x\to3^+$ ערכיו שואפים אל $+\infty$, וכאשר $x\to\infty$ הוא מתקרב אל $y=0$ מלמעלה.

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת: $\;g'(-1)=0$ ⟸ $\;f(-1)+1=0$ ⟸ $\;f(-1)=-1$

$-\dfrac{a}{32}=-1$ ⟸ $\;a=32\;$ (חיובי, כנדרש ✓)

עם $a=32$: $f(x)=\dfrac{64x}{\left(x^2-9\right)^2}$

ולכן: $g'(x)=\dfrac{64x}{\left(x^2-9\right)^2}+1$

הגורם $2x$ הוא הנגזרת הפנימית של $x^2-9$:

אינטגרל של חזקה: $g(x)=32\cdot\dfrac{\left(x^2-9\right)^{-1}}{-1}+x+c=-\dfrac{32}{x^2-9}+x+c$

הצבת הנקודה $(1,7)$: $-\dfrac{32}{1-9}+1+c=7$

מכנסים: $4+1+c=7 \;\Rightarrow\; c=2$

כאשר $x\to\pm\infty$ מתקיים $\dfrac{32}{x^2-9}\to0$, ולכן $g(x)\approx x+2$.

הגרף אינו מתקרב לישר מאוזן: משמאל הוא יורד אל $-\infty$, ומימין עולה אל $+\infty$.

בגרפים III ו-IV שני הענפים החיצוניים מתיישרים לאסימפטוטה מאוזנת, ולכן שניהם נפסלים.

נותרו גרפים I ו-II. לפונקציה $g$ יש נקודת קיצון בנקודה $x=-1$ שבענף האמצעי:

הענף האמצעי כולו מעל ציר ה-$x$ ובעל מינימום משמאל לציר ה-$y$. בגרף I הענף האמצעי מתחת לציר, ולכן הוא נפסל.

תשובה: גרף II. גם הענף הימני שבו מתאים: עבור $x>3$ מתקיים $g'(x)>0$, והענף עולה מן $-\infty$ וחוצה את הציר.