קיץ 2022 · מועד א

המשולש $ABD$ חסום באותו מעגל.

משפט הסינוסים: $\;\dfrac{BD}{\sin\angle DAB}=2R$

משפט הסינוסים ב-$\triangle BCD$: $\;R=2R\sin\angle BDC\;\Rightarrow\;\sin\angle BDC=\dfrac12$

$\alpha$ חדה, ולכן $\angle BCD=180^{\circ}-\alpha$ קהה, ושתי הזוויות האחרות במשולש $BCD$ חדות:

$\angle BDC=30^{\circ}$, $\;\angle CBD=45^{\circ}$

במרובע בר-חסימה: $\;\alpha=180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ}$

$BD$ חוצה את $\angle ABC$, ולכן $\;\angle ABD=\angle DBC$.

מסעיף ב: $\;\angle DBC=\angle CBD=45^{\circ}$

הסרטוט:

במשולש $ABD$: $\;\angle ADB=180^{\circ}-75^{\circ}-45^{\circ}=60^{\circ}$

משפט הסינוסים: $\;AB=2R\sin60^{\circ}=R\sqrt3$

$\angle BOD=2\angle BAD=150^{\circ}$ (זווית מרכזית). במשולש שווה-השוקיים $BOD$ הגובה חוצה את זווית הראש:

$h_2=R\cos75^{\circ}\approx0.2588R$

$\dfrac{h_1}{h_2}=\dfrac{\frac{\sqrt6}{2}}{\cos75^{\circ}}\approx\dfrac{1.2247}{0.2588}\approx4.73$

(בדיוק: $3+\sqrt3$)