קיץ 2022 · מועד א

אחרי ההכנסה: $\;b_1=a_1$, $\;b_2$ חדש, $\;b_3=a_2$, $\;b_4$ חדש, $\;b_5=a_3$ …

$a_2=a_1\cdot9r^2$ וגם $b_3=b_1q^2$, ולכן $\;q^2=9r^2\;\Rightarrow\;q=\pm3r$

סדרה II יורדת. מנה שלילית נותנת סדרה "קופצת" (לא יורדת), ולכן $q=3r$.

סדרה הנדסית אין-סופית מתכנסת כאשר $\;-1<\text{ratio}<1$ (ולא אפס).

נתון $0<r<\frac13$, ולכן $\;0<3r<1$: מנת סדרה II מקיימת את התנאי.

מנת סדרה I: $\;0<9r^2=(3r)^2<1$ — גם היא מקיימת.

$S_{II}=\dfrac{b_1}{1-3r}$, $\;\;S_I=\dfrac{a_1}{1-9r^2}$, ו-$a_1=b_1$

מצמצמים ב-$\dfrac{b_1}{1-3r}\neq0$: $\;1=\dfrac{4}{3(1+3r)}\;\Rightarrow\;1+3r=\dfrac43$

$3r=\dfrac13\;\Rightarrow\;r=\dfrac19$ (בתחום ✓), ולכן $\;q=3r=\dfrac13$

מקומות זוגיים: $\;\dfrac{b_1q}{1-q^2}=\dfrac{b_1\cdot\frac13}{\frac89}=\dfrac{3b_1}{8}=12\;\Rightarrow\;b_1=32$

מקומות שמתחלקים ב-$5$: איבר ראשון $\;b_5=32\cdot\left(\dfrac13\right)^4=\dfrac{32}{81}$, מנה $\;q^5=\dfrac{1}{243}$

סכום האיברים שאחרי $b_5$: $\;\dfrac{b_6}{1-q}=\dfrac{b_5q}{1-q}$

היחס: $\;\dfrac{b_5}{\frac{b_5q}{1-q}}=\dfrac{1-q}{q}$

עם $q=\dfrac13$: $\;\dfrac{\frac23}{\frac13}=2$

נסמן סדרה הנדסית מתכנסת $c_1,c_2,\ldots$ עם מנה $q$, $\;0<|q|<1$, ואיבר כלשהו $c_n$.

האיברים שאחרי $c_n$: סדרה הנדסית שאיברה הראשון $c_{n+1}=c_nq$ ומנתה $q$. סכומה: $\;\dfrac{c_nq}{1-q}$

היחס: $\;\dfrac{c_n}{\frac{c_nq}{1-q}}=\dfrac{1-q}{q}$ — תלוי רק ב-$q$ ולא ב-$n$. מש״ל