קיץ 2022 · מועד א

בסיס ($n=1$): $\;4^1-1=3$, מתחלק ב-$3$ ✓

הנחה ($n=k$): $\;4^k-1=3m$, כאשר $m$ שלם.

צעד ($n=k+1$): $\;4^{k+1}-1=4\cdot4^k-1$

מוסיפים ומחסירים $4$: $\;4\cdot4^k-4+3=4\left(4^k-1\right)+3$

מציבים את ההנחה: $\;4\cdot3m+3=3(4m+1)$ — מתחלק ב-$3$ ✓

הבסיס נכון, ומנכונות הטענה בעבור $n=k$ נובעת נכונותה בעבור $n=k+1$, ולכן היא נכונה לכל $n$ טבעי. מש״ל

רוצים להשתמש בתת-סעיף (1). בוחרים $p=-4$:

$4^{n+1}-4=4\left(4^n-1\right)$

מתת-סעיף (1): $\;4^n-1=3m$, ולכן $\;4^{n+1}-4=4\cdot3m=12m$ — מתחלק ב-$12$ לכל $n$ ✓

בדיקה: $n=1$: $16-4=12$ ✓; $\;n=2$: $64-4=60=12\cdot5$ ✓

(גם $p=8$ מתאים: $4^{n+1}+8=4^{n+1}-4+12$. באופן כללי כל $p$ שנותן שארית $8$ בחלוקה ב-$12$.)

כלל השרשרת: $\;f'(x)=3\left(2-\dfrac1x\right)^2\cdot\dfrac{1}{x^2}$

סימן: ריבוע כפול ריבוע — $f'(x)\ge0$ לכל $x\neq0$. היא מתאפסת רק ב-$2-\frac1x=0$, כלומר $x=\frac12$, ושם הגרף נוגע בציר.

ליד $x=0$: $\;f'(x)=\dfrac{3(2x-1)^2}{x^4}\to+\infty$ משני הצדדים.

בקצוות: $f'\to3\cdot4\cdot0=0$.

גרף ב נפסל: ליד $x=0^+$ הוא יורד ל-$-\infty$ (שלילי). גרף א נפסל: מימין לציר הוא מתחיל מ-$0$ ולא מ-$+\infty$, ולא חוזר לציר.

גרף ג מתאים: משני צדי הציר עולה ל-$+\infty$, מימין יורד ונוגע בציר, עולה למקסימום ושואף ל-$0$.

נקודת פיתול של $f$ = נקודת קיצון של $f'$ (שם $f''$ מחליפה סימן).

בגרף ג: בענף השמאלי $f'$ עולה כל הזמן — אין קיצון. בענף הימני יש לה מינימום ב-$x=\frac12$ (נוגעת בציר) ומקסימום אחריו. שתי נקודות קיצון.

בדיקה אלגברית: $\;f''(x)=\dfrac{12(2x-1)(1-x)}{x^5}$, מתאפסת ב-$x=\frac12$ וב-$x=1$ ומחליפה סימן בשתיהן:

לכן לפונקציה $f$ יש שתי נקודות פיתול: $\left(\frac12,\,0\right)$ ו-$(1,\,1)$.

$h(3)$ — השטח מעל הציר בין $0$ ל-$3$, בשלושה חלקים:

$[0,1]$: מלבן $1\cdot2=2$

$[1,2]$: טרפז $\dfrac{(2+4)\cdot1}{2}=3$

$[2,3]$: משולש $\dfrac{1\cdot4}{2}=2$

$h(3)=2+3+2=7$

בין $3$ ל-$5$ הגרף מתחת לציר: משולש עם בסיס $2$ וגובה $2$, שטחו $2$, והאינטגרל $-2$.

לפי המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי: $\;h'(t)=f(t)$.

$h$ יורדת היכן ש-$h'<0$, כלומר היכן שהגרף של $f$ מתחת לציר ה-$x$.

מהסרטוט: $f<0$ בתחום $3<t<7$ (מתאפסת ב-$t=3$ וב-$t=7$).

הסרטוט:

(מסורטט בעבור $2\alpha=50^{\circ}$.)

זוויות הבסיס: $\;\angle ABC=\angle ACB=\dfrac{180^{\circ}-2\alpha}{2}=90^{\circ}-\alpha$

הזווית $D$: $DA=DC$ (משיקים מנקודה אחת), והזווית בין המשיק $DA$ למיתר $AC$ שווה לזווית ההיקפית $\angle ABC$:

$\angle DAC=\angle DCA=90^{\circ}-\alpha$

$\angle D=180^{\circ}-2\left(90^{\circ}-\alpha\right)=2\alpha$

הזווית $E$: באותו אופן במשולש $EAB$ ($\angle EAB=\angle ACB=90^{\circ}-\alpha$): $\;\angle E=2\alpha$

הזווית $F$: במשולש $FBC$: $\;\angle FBC=\angle FCB=\angle BAC=2\alpha$

$\angle F=180^{\circ}-4\alpha$

בדיקה: $\;2\alpha+2\alpha+180^{\circ}-4\alpha=180^{\circ}$ ✓