קיץ 2024 · מועד ב

עבור $k(x) = xe^x$ ב-$+\infty$: $\;\lim_{x \to \infty} xe^x = \infty$ (אין אסימפטוטה מאוזנת בכיוון זה).

ב-$-\infty$ המעריכית שואפת ל-$0$ מהר יותר מ-$x$: $\;\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0$.

לכן ל-$k(x)$ יש אסימפטוטה מאוזנת $\;y = 0$ (כאשר $x \to -\infty$).

עבור $m(x) = 2e^x - 1$ ב-$+\infty$: $\;\lim_{x \to \infty}(2e^x - 1) = \infty$ (אין אסימפטוטה).

ב-$-\infty$: $\;\lim_{x \to -\infty}(2e^x - 1) = 2 \cdot 0 - 1 = -1$.

לכן ל-$m(x)$ יש אסימפטוטה מאוזנת $\;y = -1$ (כאשר $x \to -\infty$).

גוזרים את $k(x) = xe^x$ בכלל המכפלה: $\;k'(x) = e^x + xe^x = e^x(x + 1)$.

מכיוון ש-$e^x > 0$ תמיד, הסימן של $k'$ נקבע ע"י $x + 1$; מאפסים: $x = -1$.

עבור $x < -1$: $\;k'(x) < 0$ — הפונקצייה יורדת.

עבור $x > -1$: $\;k'(x) > 0$ — הפונקצייה עולה.

ב-$x = -1$ יש מינימום: $\;k(-1) = -e^{-1} = -\dfrac{1}{e}$.

גוזרים את $m(x) = 2e^x - 1$: $\;m'(x) = 2e^x$.

מכיוון ש-$2e^x > 0$ לכל $x$, הפונקצייה $m$ עולה תמיד (אין תחום ירידה).

חיתוך עם ציר $y$ — מציבים $x = 0$.

עבור $k$: $\;k(0) = 0 \cdot e^0 = 0$, כלומר הנקודה $(0, 0)$.

עבור $m$: $\;m(0) = 2e^0 - 1 = 2 - 1 = 1$, כלומר הנקודה $(0, 1)$.

$k(x)$ יורדת עד המינימום $\left(-1, -\tfrac{1}{e}\right)$ ואז עולה; מתקרבת ל-$y = 0$ מלמטה כאשר $x \to -\infty$, ועוברת דרך $(0, 0)$.

$m(x)$ עולה תמיד; מתקרבת ל-$y = -1$ כאשר $x \to -\infty$, ועוברת דרך $(0, 1)$.

שני הגרפים נחתכים בשתי נקודות: $x = c$ (ב-$c < -1$) ו-$x = d$ (ב-$d > 1$).

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס ב-$\;x - 1 = 0$, כלומר $x = 1$.

שם המונה $e^1 - 1 = e - 1 \ne 0$, ולכן $\;x = 1$ היא אסימפטוטה אנכית.

ב-$+\infty$: $\;\lim_{x \to \infty} \dfrac{e^x - 1}{x - 1} = \infty$ (המעריכית גוברת) — אין אסימפטוטה מאוזנת בכיוון זה.

ב-$-\infty$: המונה $e^x - 1 \to -1$ והמכנה $x - 1 \to -\infty$, ולכן $\;\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$.

לכן $\;y = 0$ היא אסימפטוטה מאוזנת (כאשר $x \to -\infty$).

חיתוך עם ציר $x$: מאפסים את הפונקצייה, $\;f(x) = 0$.

שבר מתאפס כאשר המונה מתאפס: $\;e^x - 1 = 0$.

פותרים: $\;e^x = 1 \Rightarrow x = 0$ (והמכנה שם $0 - 1 = -1 \ne 0$).

לכן נקודת החיתוך היא $(0, 0)$.

גוזרים את $f(x) = \dfrac{e^x - 1}{x - 1}$ בכלל המנה: $\;f'(x) = \dfrac{e^x(x - 1) - (e^x - 1) \cdot 1}{(x - 1)^2}$.

מפתחים את המונה: $\;e^x(x - 1) - (e^x - 1) = xe^x - e^x - e^x + 1 = xe^x - 2e^x + 1$.

מזהים ש-$xe^x = k(x)$ וש-$2e^x - 1 = m(x)$, ולכן המונה הוא $\;k(x) - m(x)$.

מכאן $\;f'(x) = \dfrac{k(x) - m(x)}{(x - 1)^2}$.

שבר מתאפס כאשר המונה מתאפס (והמכנה אינו): $\;f'(x) = 0$ כלומר $k(x) = m(x)$.

נתון שגרפי $k$ ו-$m$ נחתכים בדיוק בשתי נקודות, $x = c$ ו-$x = d$.

בשתי הנקודות $x \ne 1$ (כי $k(1) = e \ne 2e - 1 = m(1)$), ולכן המכנה $(x - 1)^2 \ne 0$ שם.

לכן למשוואה $f'(x) = 0$ יש בדיוק שני פתרונות: $\;x = c$ ו-$x = d$.

נציב $x = 1$: $\;k(1) = 1 \cdot e^1 = e \approx 2.72$.

וגם $\;m(1) = 2e^1 - 1 = 2e - 1 \approx 4.44$.

מכאן $m(1) > k(1)$ — כלומר ב-$x = 1$ הגרף של $m$ נמצא מעל הגרף של $k$.

עבור ערכי $x$ גדולים $k(x) = xe^x$ גדל מהר יותר מ-$m(x)$, ולכן בסופו של דבר $k$ עוקף את $m$.

נקודת החיתוך $d$ (הגדולה מבין השתיים) היא המקום שבו $k$ עוקף את $m$; מכיוון שב-$x = 1$ עדיין $m > k$, ההצטלבות מתרחשת רק ב-$x > 1$.

לכן $\;d > 1$.

מסעיף ד: $\;f'(x) = \dfrac{k(x) - m(x)}{(x - 1)^2}$.

המכנה $(x - 1)^2 > 0$ לכל $x \ne 1$, ולכן הסימן של $f'$ זהה לסימן של $k(x) - m(x)$.

מן הסקיצה: $k > m$ (כלומר $f' > 0$) עבור $x < c$ ועבור $x > d$.

ו-$m > k$ (כלומר $f' < 0$) עבור $c < x < d$.

אך $f$ אינה מוגדרת ב-$x = 1$, וכיוון ש-$c < 1 < d$, תחום הירידה מתפצל לשניים.

לכן $f$ עולה ב-$x < c$ וב-$x > d$, ויורדת ב-$c < x < 1$ וב-$1 < x < d$.

אסימפטוטות: אנכית $x = 1$ ומאוזנת $y = 0$ (ב-$-\infty$).

ענף שמאלי ($x < 1$): מתקרב ל-$y = 0$ מלמעלה ב-$-\infty$, עולה עד מקסימום ב-$x = c$, יורד דרך $(0, 0)$, ושואף ל-$-\infty$ כאשר $x \to 1^-$.

ענף ימני ($x > 1$): יורד מ-$+\infty$ (כאשר $x \to 1^+$) עד מינימום ב-$x = d$, ואז עולה ל-$+\infty$.