קיץ 2024 · מועד ב

מעבירים אגף: $\;z^6 = -729i$.

כותבים את $-729i$ בהצגה קוטבית: $\;z^6 = 729\,\operatorname{cis}\,270°$.

מוציאים שורש שישי — שורש מהרדיוס וחלוקת הזווית: $\;z_k = \sqrt[6]{729}\,\operatorname{cis}\!\left(\dfrac{270° + 360°k}{6}\right)$.

מציבים $\sqrt[6]{729} = 3$ (כי $3^6 = 729$): $\;z_k = 3\,\operatorname{cis}(45° + 60°k)$.

מציבים $k = 0, 1, 2$: $\;z_0 = 3\,\operatorname{cis}\,45°,\quad z_1 = 3\,\operatorname{cis}\,105°,\quad z_2 = 3\,\operatorname{cis}\,165°$.

מציבים $k = 3, 4, 5$: $\;z_3 = 3\,\operatorname{cis}\,225°,\quad z_4 = 3\,\operatorname{cis}\,285°,\quad z_5 = 3\,\operatorname{cis}\,345°$.

שבר שווה $0$ רק כאשר המונה מתאפס והמכנה שונה מ-$0$.

המונה $z^6 + 729i = 0$ נותן את ששת הפתרונות מסעיף א1.

נמצא אילו מהם מאפסים את המכנה: $\;z^2 - 9i = 0$, כלומר $z^2 = 9i$.

בהצגה קוטבית: $\;z^2 = 9\,\operatorname{cis}\,90°$.

שורש ריבועי: $\;z = 3\,\operatorname{cis}(45° + 180°k)$, כלומר $z = 3\,\operatorname{cis}\,45°$ או $z = 3\,\operatorname{cis}\,225°$.

שני אלה ($z_0$ ו-$z_3$) מאפסים את המכנה, ולכן הם נפסלים.

נשארים ארבעת הפתרונות: $\;z_1 = 3\,\operatorname{cis}\,105°,\quad z_2 = 3\,\operatorname{cis}\,165°,\quad z_4 = 3\,\operatorname{cis}\,285°,\quad z_5 = 3\,\operatorname{cis}\,345°$.

ארבעת הקדקודים על מעגל שרדיוסו $3$, בזוויות $105°, 165°, 285°, 345°$.

מחברים את המרכז $O$ לכל קדקוד ומקבלים ארבעה משולשים.

הזוויות המרכזיות (הפרשי הזוויות הסמוכות): $\;60°,\ 120°,\ 60°,\ 120°$ (סכומן $360°$).

שטח משולש עם צלעות $3, 3$ וזווית $60°$: $\;\dfrac{3 \cdot 3 \cdot \sin 60°}{2} = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}$.

שטח משולש עם זווית $120°$: $\;\dfrac{3 \cdot 3 \cdot \sin 120°}{2} = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}$ (כי $\sin 120° = \sin 60°$).

יש שני משולשים מכל סוג, ולכן: $\;S = 4 \cdot \dfrac{9\sqrt{3}}{4}$.

מפשטים: $\;S = 9\sqrt{3}$.

סיבוב בזווית $\alpha$ נגד כיוון השעון פירושו כפל כל קדקוד ב-$\operatorname{cis}\,\alpha$.

לאחר הסיבוב הקדקודים הם $\;3\,\operatorname{cis}(105° + \alpha),\ \dots,\ 3\,\operatorname{cis}(345° + \alpha)$.

מכפלת ארבעתם: $\;3^4\,\operatorname{cis}(105° + 165° + 285° + 345°) \cdot \operatorname{cis}(4\alpha)$.

מחשבים רדיוס וסכום זוויות: $\;81\,\operatorname{cis}\,900° \cdot \operatorname{cis}(4\alpha)$.

מצמצמים $\operatorname{cis}\,900° = \operatorname{cis}\,180° = -1$: $\;-81\,\operatorname{cis}(4\alpha)$.

מציבים $\alpha = 45°$: $\;-81\,\operatorname{cis}(4 \cdot 45°) = -81\,\operatorname{cis}\,180°$.

ומכיוון ש-$\operatorname{cis}\,180° = -1$: $\;-81 \cdot (-1) = 81$.

מסעיף ג, המכפלה לאחר סיבוב בזווית $\alpha$ היא $\;-81\,\operatorname{cis}(4\alpha)$.

המכפלה מדומה טהורה כאשר חלקהּ הממשי מתאפס, כלומר $\;\operatorname{cis}(4\alpha) = \pm i$.

הערך $\operatorname{cis}(4\alpha) = i$ מתקבל כאשר $\;4\alpha = 90°$.

הערך $\operatorname{cis}(4\alpha) = -i$ מתקבל כאשר $\;4\alpha = 270°$.

מחלקים ב-$4$: $\;\alpha = 22.5°$ או $\alpha = 67.5°$.

שני הערכים נמצאים בתחום $0° < \alpha < 90°$.

מציבים בביטוי $-81\,\operatorname{cis}(4\alpha)$ מסעיף ד1.

עבור $\alpha = 22.5°$: $\;-81\,\operatorname{cis}\,90° = -81 \cdot i = -81i$.

עבור $\alpha = 67.5°$: $\;-81\,\operatorname{cis}\,270° = -81 \cdot (-i) = 81i$.