קיץ 2022 · מועד ב

הסרטוט (בעבור הערכים של סעיף ג):

$OD\perp AD$ (משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה).

במשולש ישר-הזווית $ADO$: $\;\cos\alpha=\dfrac{OD}{AO}=\dfrac{R}{AO}\;\Rightarrow\;AO=\dfrac{R}{\cos\alpha}$

במשולש $AOB$: $\;OB=R$, $\;AO=\dfrac{R}{\cos\alpha}$, והזווית ביניהן $\beta$.

משפט הקוסינוסים: $\;AB^2=AO^2+OB^2-2\cdot AO\cdot OB\cos\beta$

כפל ב-$\cos^2\alpha$: $\;\cos^2\alpha=1-2\cos\beta\cos\alpha$

$\cos\beta=\dfrac{\sin^2\alpha}{2\cos\alpha}$ מש״ל

$\triangle ADO$ ישר-זווית ב-$D$, ולכן היתר $AO$ הוא קוטר המעגל החוסם: $\;r=\dfrac{AO}{2}=\dfrac{R}{2\cos\alpha}$

מסעיף ב: $\;\cos\beta=\dfrac{\frac{18}{25}}{2\cdot\frac{\sqrt7}{5}}=\dfrac{18}{10\sqrt7}=\dfrac{9}{5\sqrt7}\approx0.680$

$\beta\approx47.13^{\circ}$